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1、双曲线及其标准方程 2 正负定焦点 一 复习回顾 二 巩固练习 1 过双曲线的焦点且垂直x轴的弦的长度为 2 y2 2x2 1的焦点为 焦距是 3 方程 2 x2 1 y2 1表示双曲线的充要条件是 2 1 4 说明下列方程各表示什么曲线 方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线 例1 已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6 则 1 a c b 2 双曲线的标准方程为 3 双曲线上一点 PF1 10 则 PF2 若 PF1 3 则 PF2 3 5 4 4
2、或16 9 三 例题选讲 例2 k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 1 k2所表示的曲线是 A 焦点在x轴上的椭圆 C 焦点在y轴上的椭圆 B 焦点在y轴上的双曲线 D 焦点在x轴上的双曲线 D 例3 已知方程kx2 y2 4 k R 讨论k取不同实数时方程所表示的曲线 1 K 0时 直线y 2 2 k 1时 是x2 y2 4 圆 3 01时 是焦点在y轴上的椭圆 5 k 0时 焦点在y轴上的双曲线 例4 一炮弹在某处爆炸 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s 1 爆炸点应在什么样的曲线上 2 已知A B两地相距800m 并且此时声速为340m s 求曲线的方程 解 1 由A B两
3、处听到爆炸声的时间差为2s 可知A B两处与爆炸点的距离的差为2v v为声速 因此爆炸点应位于以A B为焦点的双曲线上 因为爆炸点离A处比离B处更远 所以爆炸点应在靠近B处的一支上 故所求双曲线方程为 2 建系如图 设爆炸点P x y 则 PA PB 340 2 680 答 再增设一个观测点C 利用B C 或A C 两处测得的爆炸声的时间差 可以求出另一个双曲线的方程 解这两个方程组成的方程组 就能确定爆炸点的准确位置 这是双曲线的一个重要应用 解 在 ABC中 BC 10 故顶点A的轨迹是以B C为焦点 的双曲线的左支 又因c 5 a 3 则b 4 则顶点A的轨迹方程为 练习5 1 方程mx
4、2 my2 n中mn 0 则其表示焦点在轴上的 双曲线 2 若方程 k2 k 2 x2 k 1 y2 1的曲线是焦点在y轴上的双曲线 则k 1 1 3 双曲线的焦点坐标是 y 5 双曲线的焦距是6 则k 6 6 若方程表示双曲线 求实数k的取值范围 25 已知双曲线与椭圆有共同的焦点 且与椭圆相交 一个交点A的纵坐标为4 求双曲线的方程 四 练习与习题 3 已知F1 F2为双曲线的焦点 弦MN过F1且M N在同一支上 若 MN 7 求 MF2N的周长 2 已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1 F2 P为两条曲线的交点 求 PF1 PF2 的值 4 已知双曲线16x2 9y2 144 求焦点的坐标 设P为双曲线上一点 且 PF1 PF2 32 求 设P为双曲线上一点 且 F1PF2 120 求 5 当0 180 时 方程x2cos y2sin 1的曲线怎样变化
