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1、福建省莆田第六中学2020届高三数学上学期期中试题 文第卷（共60分） 2019-11-8一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若向量，则（ ） A. B. C. D. 2.若集合，则（ ）A. B. C. D. 3.若实数，满足约束条件，则的最大值等于（ ）A. 2B. 1C. -2D. -44.设等差数列的前项和为，若，则( )A. 36B. 54C. 60D. 815.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现
2、有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）A. 只B. 只C. 只D. 只6.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前10项和为A. 65B. 75C. 90D. 1107.已知，则的值为( ) A. B. C. D. 8.函数在的图象大致为（ ）A.B.C.D. 9.设等比的前项和为，若，则（ ）A. 144B. 117C.81D. 6310.如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）A2BCD 11.在ABC中，角A，B，C的对
3、边分别是若，则的最大值为( )ABCD 12.已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（ ）A.1 B.2 C.3 D.4第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量，若，则锐角为_14.已知的夹角为_15已知数列满足对任意的，都有，又，则_.16.已知，且，则的最小值为_三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.的内角、所对的边长分别为、，已知.（1）求的值；（2）若，点在线段上，求的面积.18. 数列的前项和满足（）
4、求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和19.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和为.20.已知函数.（1）设是函数在处的切线，证明：；（2）证明：.21.已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.（1）求椭圆及圆的方程； （2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数），直线的参数方程为（为参数
5、）(1)求与的直角坐标方程；(2)过曲线上任意一点作与垂直的直线，交于点，求的最大值23.已知（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集莆田六中19-20学年上学期11月份月考高三数学文科参考答案一、选择题1-5：CDABB 6-10：ACCBD 11-12： DB二、填空题13、 14、 15、255 16、三、解答题17【详解】（1），由正弦定理得：，2分即，3分即，5分在中，所以.6分（2），两边平方得：，7分由，8分得，9分可得，解得：或（舍），10分所以的面积.12分18.解：（I）当时， 解得2分由，当n2时，3分，即4分数列是等比数列，首项为2，公比为25
6、分（II）， 8分10分数列的前项和 12分19. 【详解】（1）当时，1分4分当时，符合上式，5分所以6分（2）7分所以8分9分所以10分11分所以12分20. 【详解】（1）由可得，1分代入切点横坐标，得切线斜率2分所以切线3分设则4分所以时，单调递增，时，单调递减，所以5分故6分即.6分（2）由（1）可知对任意的恒成立，7分取，有 取，有 取，有8分则 而9分10分所以，11分即，证毕. 12分21. 详解：(1)由题意知,，圆的方程为由题可知，解得 ，3分所以椭圆的方程为，圆的方程为.4分（2）假设存在直线满足题意.由，可得，故5分（）当直线的斜率不存在时，此时的方程为当直线时，可得所
7、以同理可得，当时，.故直线不存在6分（）当直线的斜率存在时，设方程为， 因为直线与圆相切，所以，整理得7分由消去y整理得，8分设，则，9分因为，所以，则，即， 所以，10分所以， 整理得11分由得，此时方程无解. 故直线不存在由（i）（ii）可知不存在直线满足题意. 12分22.【详解】（1）曲线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：3分直线的参数方程，消去得其直角坐标方程为：5分（2）设曲线上任意一点6分点到直线的距离，其中，且8分由题意知：9分当时，10分【点睛】本题考查参数方程化普通方程、参数方程问题中的最值问题的求解；解决本题中的最值问题的关键是能够利用参数方程，将问题转化为三角函数的问题来进行求解，属于常考题型.23.因为不等式有实数解，所以1分因为，所以4分故。5分6分当时，所以，故7分当时，所以，故8分当时，所以，故9分综上，原不等式的解集为。10分【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。- 11 -
