《高二数学空间角与距离的向量解法课件人教.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学空间角与距离的向量解法课件人教.ppt（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、空间 角 与 距离 的向量解法 向量的有关知识 两向量数量积的定义 a b a b cos a b 两向量夹角公式 cos a b 直线的方向向量 与直线平行的非零向量 平面的法向量 与平面垂直的向量 一 空间 夹角 问题 1 异面直线所成角 注意异面直线夹角的范围与两向量夹角范围的区别 转化成求两向量 直线的方向向量 的夹角或其补角 设n为平面的法向量 直线AB与平面所成的角为 向量与n所成的角为 则而利用可求 从而再求出 2 线面角 3 二面角 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中AB 则 将二面角转化为
2、二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 法向量法 例1正三棱柱中 D是AC的中点 当时 求二面角的余弦值 解法一 如图 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 设底面三角形的边长为 侧棱长为b 则C 0 0 0 故 由于 所以 则可设 1 则B 0 1 0 作于E 于F 则 即为二面角的大小 在中 即E分有向线段的比为 由于且 所以 在中 同理可求 即二面角的余弦值为 解法二 同法一 以C为原点建立空间直角坐标系C xyz 设面的一个法向量为 同法一 可求B 0 1 0 由得 解得 所以
3、可取 方向朝面外 方向朝面内 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 即二面角的余弦值为 二 空间 距离 问题 1 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算 利用公式或 其中 可将两点距离问题转化为求向量模长问题 二 空间 距离 问题 2 点到面的距离 设n为平面的一个法向量 AB是面的一条斜线 A为斜足 根据向量在轴上射影的概念 点B到面的距离等于向量在n上的射影的长度 所以 二 空间 距离 问题 3 异面直线间的距离 例2如图 ABCD是矩形 面ABCD PD DC AD M N分别是AD PB的中点 求点A到面MNC的距离 解 如图 以D为原点建立空间直角坐标系D xy
4、z则D 0 0 0 A 0 0 B 0 C 0 0 P 0 0 由于M N分别是AD PD的中点所以M 0 0 N 设为面MNC的一个法向量 故 解得 故可取 所以 在上的射影长 即点A到面MNC的距离为 1 已知正方体的边长为2 O为AC和BD的交点 M为的中点 1 求证 直线面MAC 2 求二面角的余弦值 三 巩固练习 2 如图 已知正方形ABCD的边长为4 E F分别是AB AD中点 GC面ABCD 且GC 2 求点B到面EFG的距离 本节课我们主要介绍了空间 角 与 距离 的向量解法 我们发现 引入 空间向量 这一工具 能避免较为复杂的空间想象 为立体几何代数化带来很大的方便 而且 我们还发现 在立几图形中合理建立空间直角坐标系 使 空间向量 坐标化 是解题的关键 事实上 它是完成从几何问题向代数问题转化的基础 四 小结 五 作业 如图所示立体图形中 BAC DAB DAC AC 4 AB 3 求二面角B AD C的大小 思考题 正三棱柱的所有棱长均为2 P示侧棱上任一点 1 求证 不可能与平面垂直 2 当时 求线段AP的长 3 在 2 条件下 求二面角的大小 谢谢 再见
