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1、福建省莆田第九中学2018届高三上学期期中考试数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 已知 ，其中为虚数单位，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数和，满足，所以函数都是奇函数，函数满足，所以函数都是偶函数，故选A.考点：函数的奇偶性.4. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分
2、五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲乙丙丁戊五人分5钱，甲乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲乙丙丁戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（钱是古代的一种重量单位），这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱【答案】B5. 函数 的一个单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 的单调增区间是，所以是一个单调增区间，选C.6. 已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，所以，所求双曲线方程为考点：双曲线方程.7. 若满足约束条件，则的最小值是（
3、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：约束条件，表示的可行域如图，解得，解得，解得，把、分别代入，可得的最小值是，故选A考点：简单的线性规划的应用【方法点晴】1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值，间接求出的最值注意：转化的等价性及几何意义8. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）A. 若与所成的角相等，则 B. 若， 则C. 若， 则 D. 若， 则【答案】C【解析】试题分析：因为圆锥的所有母线都与底
4、面成等角，所以A错，如果两个平面互相垂直，平行于其中一个平面的直线与另一个平面可以成任意角，故B错，D项当中的直线可以成任意角，故D错，根据一个平面经过另一个平面的垂直，则两面垂直，故C对，故选C考点：空间关系的考查9. 函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于函数的图象有意义，则满足，根据定义域排除A,D然后在B,C中通过赋值法，令x=2,可知函数值大于零，图像在x轴的上方，故排除C，选B.考点：函数的图像点评：解决的关键是根据函数的解析式和定义域以及函数的性质来排除法得到结论。属于基础题。10. 在中，是边上的一点，的面积为，则的长为（ ）A.
5、B. C. D. 【答案】C【解析】,选C11. 定义在上的函数满足，任意的都有是的 （ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为；，且关于对称，所以时， 反之也成立：时，所以选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件12. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】B【解析】作图，则满足条件实数的取值范围是，选B点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数满足的条件，则的最大值为_【答案】【解析】作可行域，则直线过点A（2，0）时取最大值6点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应
7、的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点，若的中点为，在直线的方程是_【答案】【解析】由焦点坐标知，抛物线方程为，设，则有，两式相减得，所以直线方程为，即，故填15. 已知为正实数，且满足，则的最小值为_【答案】【解析】,当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
8、.16. 给出下列命题：函数的一个对称中心为；若为第一象限角，且，则；若，则存在实数，使得 ；在中，内角所对的边分别为，若，则必有两解；函数 的图象向左平移个单位长度，得到的图象.其中正确命题的序号是_（把你认为正确的序号都填上）【答案】【解析】试题分析：因为，且，所以是函数的一个对称中心，所以是正确的，因为，但是，所以是错误的，当，所以有两个向量是反向的，即是共线向量，所以一定存在实数，使得，故是正确的，因为，所以必有两解，所以是正确的，函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，所以是正确的，故答案为考点：三角函数的性质的综合应用，三角形解的个数，向量的关系【易错点睛】该题属于选择题性质的填
9、空题，考查的知识点比较多，属于较难题目，在解题的过程中，需要对每个命题所涉及的知识点掌握的比较熟练，容易出错的地方是需要把握三角形解的个数的判定方法，以及图像变换中涉及到左右平移时移动的量那是自变量本身的变化量，以及三角函数在各象限内是不具备单调性的三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）分别写出曲线与曲线的普通方程；（2）若曲线与曲线交于两点，求线段的长.【答案】(1) ， (2) 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系消去参数，得
10、曲线，利用，得曲线；（2）把曲线和曲线联立消去得，结合弦长公式即可求得弦的长试题解析：（1）曲线，曲线（2）联立，得，设，则，于是故线段的长为考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆锥曲线的位置关系18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.（3）估计居民月用水量的中位数.【答案】(1) (2)36000（3）【解析】试题分析：本题主要考查频率分
11、布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（）问，由高组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（）问，利用高组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率样本容量=频数，计算所求人数；第（）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2x2.5，再估计月均用水量的中位数.试题解析：（）由频率分布直方图，可知：月均用水量在0,0.5）的频率为0.080.5=0.04.同理，在0.5,1），1.5,2），2,2.5），3,3.5），3.5,4），4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06
12、，0.04，0.02.由1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，解得a=0.30.（）由（），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.12=36 000.（）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5所以2x2.5.由0.50（x2）=0.50.48，解得x=2.04.故可估计居
13、民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础19. 若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.【答案】(1) (2) 的最小值为.【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利
14、用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出，利用裂项相消法求得数列的前项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果试题解析：（1）因为为等差数列，设的首项为，公差为 ，所以又因为成等比数列，所以所以因为公差不等于，所以又因为，所以，所以（2）因为，所以 要使对所有都成立，则有，即因为，所以的最小值为30考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题20. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心，为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析 （2）【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得,再由平面得,又由矩形得AD,根据线面垂直判定定理得平面,即得，再根据线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得平面平面（2）求点到平面距离一般转化为求对应三棱锥的高，利用等体积法求体积，再根据体积公式求结果试题解析：（1）易得平面，所以平面平面（2）由所以点到平面的距离为点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)
