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1、 8 3椭圆的第二定义 1 基本量 a b c e几何意义 a 半长轴 b 半短轴 c 半焦距 e 离心率 相互关系 回顾椭圆的基本性质 2 基本点 顶点 焦点 中心 3 基本线 对称轴 一 椭圆中的基本元素 二 椭圆的基本性质 a x a b y b b x b a y a 关于x轴 y轴 原点对称 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 关于x轴 y轴 原点对称 问题 已知动点M与定点F c 0 的距离和它与定直线x 的距离的比是常数 a c 0 求点M的轨迹 分析解答 在已知直角坐标系中 设M x y 为轨迹上任意一
2、点 a2 c c a x a2 c a2 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 设b2 a2 c2代入 两边同除 它表明动点M的轨迹是椭圆 由此我们得到椭圆的第二种定义 椭圆的定义2 平面内 平面内到定点F和到定直线L FL 的距离之比等于 平面内 到定点F的距离和到定直线L FL 的距离之比等于常数e 0 e 1 的点的轨迹是椭圆 其中定点F就是椭圆的一个焦点 e就是其离心率 定直线L叫做椭圆的准线 依据椭圆的对称性 椭圆有两条准线 注意 椭圆的几何性质中 有些是依赖坐标系的性质 如 点的坐标 线的方程 有些是不依赖坐标系 图形本身固有的性质 如 距离 角 要注意区别 中心到准线的距
3、离 d 焦点到准线的距离 d c 两准线间的距离 d 精典精范例选讲与知能训练 椭圆 1上一点P到右准线的距离为10 则 点P到左焦点的距离为 A 14B 12C 10D 8 1 若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分 则 离心率e 2离心率e 且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为 已知椭圆有内一点P 1 1 F为椭圆右焦点 在椭圆上有一点M 使取最小值 则点M的坐标为 ABCD 变式 求 MP MF 的最大值和最小值 过椭圆 1的左焦点F1任作一条弦AB 请判断 以AB为直径的圆与左准线的位置关系 焦半径公式及其应用 设点P x0 y0 求证 PF1 a ex0 PF2 a ex0 思考
4、焦点在轴上的焦半径公式呢 椭圆 1上的点P与其两焦点F1 F2的连线段分别叫做椭圆的左焦半径和右焦半径 统称 焦半径 焦点在y轴上时 设P x0 y0 是椭圆上的点 则 焦半径公式为 PF1 a ey0 PF2 a ey0 F1ox y M N F2 F1 o x y P M N y a2 c y a2 c 1 点P为椭圆上动点 F为它的一个焦点 则 PF 的最大值为 最小值为 2 椭圆 1 a b 0 上一横坐标为3的点P到两焦点的距离分别为3 5和6 5 则 椭圆的标准方程为 3 P为椭圆 1上动点 则 PF1 PF2 的的最大值为 最小值为 点评小结 求几何量 距离 长度 角 的最值的方
5、法归纳起来有以下三种方法 法一 函数法 首先要选择恰当的自变量 构建 目标函数 法二 均值不等式法 法三 几何法 结合图形直接在图上找到 作出 最值 已知椭圆 y2 1 点P 1 0 1 求过点P 倾角为45o的直线被椭圆截得的弦长 2 椭圆的长轴100等分 过每个分点作长轴A1A2的垂线交椭圆的上半部于B1 B2 B99 求 A1P B1P B2P B99P A2P 2 x2 分析 1 先判断点P是否焦点 因为a2 2 b2 1 所以c 1 点P是右焦点 所求的弦是焦点弦AB x2 2y2 2与y x 1联立消去y 得3x2 4x 0 AB 2a e x1 x2 2 2 4 3 2 2 4
6、2 3 2 等分长轴 分点的横坐标依次组成一个等差数列 它对应的焦半径 A1P B1P B2P B99P A2P 也组成一个等差数列 首项是a c 最后一项是a cS101 101 101a 101 2注意 求焦点弦长有多种方法 但是对于不是焦点弦不能用第二定义 二 椭圆的参数方程 椭圆 1的参数方程为 应用 用作三角代换 把关于x y的二元函数转化为一元的三角函数 2 已知椭圆 1 1 求 x y的最大值和最小值 2 求椭圆上的动点P到直线x y 6 0的距离的最小值和最大值 应用举例 3 求椭圆 1 a b 0 的内接矩形的面积的最大值 想一想 椭圆面积最大的内接矩形是正方形吗 有可能是正方形吗 why 圆的内接矩形呢
