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1、河北省石家庄地区高二数学平面垂直判定与性质课题9.6.3 两个平面垂直的判定和性质（三）教学目标（一）教学知识点1.无棱二面角问题探求.2.多角度多方位解题思想探求.（二）能力训练要求1.通过本节教学提高学生解决问题能力.2.进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力.3.从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用.（三）德育渗透目标创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透.教学重点两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解.教学难点找求问题解决的突破口，转化思想渗透.教学方法从所求二面角出发，诱导学生思考棱的位置确定，从所给图形出发，思考问题解决途径确定.教具准备投影片四张第一张：（记作9.6.3
2、A）问题一：在所给空间图形中ABCD是正方形，PD面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.第二张：（记作9.6.3 B）问题二：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.第三张：（记作9.6.3 C）问题三：如图，几何体中 AA1BB1CC1,AA1面ABC，ABC为正三角形，面A1EC面AC1，EBB1.AA1=A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.第四张：（记作9.6.3 D）问题四：如图，几何体中，ABCD是直角梯形，ABC=90，SA面ABCD，SA=AB=
3、BC=1，AD=，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.教学过程.复习回顾1.二面角的平面角找法依据.2.三垂线定理及逆定理.讲授新课师前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.找无棱二面角的棱依位置可分二类，给出投影片9.6.3 A，思考如何求解：师面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.生作线在面内进行，BCAD则经BC的平面与面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.
4、解法如下：师生共同完成，边解边在投影片上作线解：经P在面PAD内作PEAD，AE面ABCD，两线相交于E，连BEBCAD则BC面PAD面PBC面PAD=PEBCPE因PD面ABCD，BCCD那么BCPC，BC面PDC即有PE面PDCPEPD，PEPCCPD就是所求二面角的平面角因PD=AD,而AD=DCCPD=45即面PAD与面PBC成角为45.师从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得.请同学归纳小结问题一的解法，并完成问题二.给出投影片9.6.3 B：师首先解释一下斜三棱柱，面ABC及面A1B1C1都是几何体底面且平行，CC1AA1BB1.
5、生A是面AB1C1和面ABC的一个公共点，这两个面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行于B1C1，此题难点就是如何找平面角.师考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件，请同学思考.师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：因面ABC面A1B1C1，则面BB1C1C面ABC=BC面BB1C1C面A1B1C1=B1C1BCB1C1，则B1C1面ABC设所求两面交线为AE，即二面角的棱则B1C1AE，即BCAE经C1作C1DBC于D，因面BB1C1C面ABCC1D面ABC，C1DBC又C1CD=60,CC1=a故CD=即D为BC中点又ABC是等边三角形BCAD那么有BC面DAC1即
6、AE面DAC1故AEAD，AEAC1C1AD就是所求二面角的平面角.因C1D=C1DAD故C1AD=45.师请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.生同问题一，关键是找棱、找角、而找角较难.师继续看问题三，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？给出投影片9.6.3 C.师此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解：A1是平面A1EC与平面
7、A1B1C1的一个公共点，只需找到另一个公共点，即可.因AA1=A1B1=A1C1，连AC1则AC1A1C,AC1A1C=O取BB1的中点E，连EO因面ABC是正三角形，则经B作BGAC有BG面AC1，OEBGOE面AC1因面A1EC面AC1，故E是BB1中点那么EB1CC1CE与B1C1延长后必交于一点F，即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱因FB1=B1C1=A1B1，A1B1F=120FA1B1=30那么C1A1F=90即A1C1A1F那么CA1A1F（三垂线定理）CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角
8、.CA1C1=45，因AA1BB1CC1而面ABC面A1B1C1面A1EC与面ABC所成二面角大小为45.师找公共点F是解此题关键，问题一、问题二是通过公共点作棱，问题三是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.问题一、问题二找棱的方法不妨叫“作平行线”，问题三的方法叫“找公共点”.继续看问题四 9.6.3 D.师此题也是无棱二面角问题，请同学思考解法生由图可看到，问题的情形，即面与面的关系意味着是“找公共点”法来完成的题目，因AB、CD共面，故考虑AB、CD.师生共同完成求解.解：因AB、CD共面，AD=BC故AB、CD相交，设其交点为EECD，CD面SCDE面SCD，同理E面SA
9、B那么E在面SCD，面SAB的交线上连SE则面SCD面SAB=SE由题AE=AB=SA，SA面ABCD故SESB，面SEB面EBC又EBBC,EB面SEBSB是SC在面SEB内射影SESCBSC就是面SCD与面SBA所成二面角的平面角.在RtSBC中tanBSC=那么面SCD与面SBA所成二面角的正切值为.师请同学在原图上作文章，想想怎样取点，作线能将问题转化为第1类型问题求解.生经思考、分析、添加线，作法如下：要利用问题一、问题二那种“作平行线”而来解决问题，关键是找线，依助表示平面的SAB及SDC显然达不到目的，为此想到三角形的中位线，过程如下：解：分别取SC及SB的中点E、F，连EF，则
10、EFBC，即EFAD故ADEF为平行四边形，那么DEAF,即DE面SAB经S在面SCD内作lDE那么l就是所求二面角的棱.因SA=AB有AFSB又SA面ABCD，则面BSA面ABCD又BCAB，BC面SAB即BCAF故AF面SBC那么l面SBClSB,lSCCSB就是二面角的平面角在RtCSB中，tanCSB=.师问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.课时小结依图形结构，对两类问题（问题一、问题二为一类，问题三、问题四为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成.但一切问题都不是绝对的，问题四也可经过作线，
11、将问题转化为第一类问题求解.课后作业（一）1.归纳小结本节课问题解决方法，进一步感悟其思想.2.考虑问题四有没有其他解法，从构造图形，面积射影等方面考虑.（1）构造图形解答问题四解：如图，将题所给几何体“装”入正方体，分别取M、N为SE及GF中点连DM，MN，DNSCDN=O，连OM则面DMN面SABSM面DMN，又DM=MN,MODN有DNSO故SOM为面DMN与SDC所成二面角的平面角，也是面SAB与面SDC所成二面角的大小.在RtSMO中，tanMOS=.解法二：还将原几何体“装”入正方体面SAB面EHC故面SAB与面SDC所成二面角等于面EHC与面SDC所成二面角，这还是一个无棱二面角
12、问题“找公共点”延长SD、EH，使之SDEH=G连CG则CG就是面EHC与面SDC所成二面角的棱由题正方体棱长为1，AD=.连CE，则CE=，EG=2，CG=GCE=90，GCEC而SE面EHC故GCSC，SCE就是面EHG与面SDC所成二面角的平面角.tanECS=.故面SAB与面SDC所成二面角正切值为.（2）作辅助面求解问题四.（等价转化）解法三：分别取BC及SB的中点M、N，连AM，MN，AN，则有MNSC,MACD，故面AMN面SDC那么问题就转化为求面SAB与面AMN，所成二面角，棱为AN.解法四：同上思路，找面，使之平行于一面而与另一面相交，图形如下，面GDF面SAB（3）面积射影在问题四中运用分析：如上图所示两个面，面SAB及面SDC所成二面角，若为，则应有cos=其中面SDC在面SAB上射影为SAB，解三角形可求得SSDC=SABS=那么cos=即tan=.解法五：也许还有好的方法，妙的思路（二）1.预习内容 P41 9.7棱柱2.预习提纲（1）棱柱的概念及涉及到元素有哪些？具有性质是什么？（2）长方体体对角线性质是什么？板书设计9.6.3 两个平面垂直的判定和性质（三）无棱二面角问题解析 第1类问题 利用“找公共点”法利用“作平行线”法 小结第2类问题 作业 教学后记用心 爱心 专心 121号编辑 7
