《2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题16 几何体的几何特征与点线面关系（解析版）（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 立体几何 专题16 几何体的几何特征与点线面关系【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住.立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多见.一.折叠问题最重要的是找到
2、折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理.二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.三.几何体的切接、截面问题：(1)求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方
3、体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式、坐标法，甚至导数都是可以考虑使用的工具四.角的计算问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角三求角,在三角形中用余弦定理
4、或正弦定理或三角函数求角四结论3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证-三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1. （2019安徽高三月考（理）在长方体中，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】长方体中，由，知，又，是与所成的角.在中，.选D.例2. （2019
5、陕西高三月考（理）已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面 所成角的正切值为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】易知；连接，在直角中，可计算；又，所以点是的中点；连接与交于点，易证平面，直线在平面内的射影是，所以就是直线与平面所成的角，在直角中， .例3.（2019浙江高考真题）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，即，综上所述，答案为B.
6、方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）由最大角定理，故选B.方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得，故选B.例4. (浙江省诸暨市2018届5月适应)如图，矩形ABCD中，Ab=1,Bc=3，E是线段BC（不含点C）上一动点，把ABE沿AE折起得到ABE，使得平面BAC平面ADC，分别记BA，BE与平面ADC所成角为,，平面BAE与平面ADC所成锐角为，则（ ）A B 2 C 2 D tan2tan【答案】A【解析】如图，过B作BOAC，在RtABC中，由AB=1，BC=3，可得AC=2由等积法可得BO=32，则AO=12，平面BAC平面ADC，且BOAC，可得BO平面ABCD，则
7、BAO=，tan=BOAO3BEO=，tan=BOEOtan,过O作OFAE，垂足为F，连接BF，则BFO为平面BAE与平面ADC所成的锐角O到AB的距离h14BC34， tan=BOh32342， 即tantan, 故选：A例5.（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（一）如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1 , 过直线B1D1的平面平面A1BD,则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）A 6 B 23 C 32 D 64【答案】D【解析】如图所示，连接A1C1交B1D1于E，取AA1中点F，连接EF、AC1、FB1和FD1，易得EFAC1，AC1面A1BD， EF面A1
8、BD； EF面FB1D1， FB1D1为平面截该正方体所得截面，且EFB1D1； AB=1， B1D1=2，AC1=3，EF=12AC1=32； SFB1D1=12B1D1EF=64，即平面截该正方体所得截面的面积为64.故选D.例6.（2018年理新课标I卷）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面
9、面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.例7. (黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届押题卷（二）)在中， 分别为三边中点，将分别沿向上折起，使重合，记为，则三棱锥的外接球面积的最小值为_.【答案】9【解析】例8.（2017全国高考真题（理）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的
10、是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），|1，直线b的方向单位向量（1，0，0），|1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B（cos，sin，0），其中为BC与CD的夹角，0，2），AB在运动过程中的向量，（cos，sin，1），|，设与所成夹角为0
11、，则cos|sin|0，正确，错误设与所成夹角为0，cos|cos|，当与夹角为60时，即，|sin|，cos2+sin21，cos|cos|，0，此时与的夹角为60，正确，错误故答案为：【压轴训练】1（2018届湖南省郴州市二中第六次月考）已知三棱锥D-ABC的底面ABC是直角三角形，ACAB，AC=AB=4，DA平面ABC，E是BD的中点若此三棱锥的体积为323，则异面直线AE与DC所成角的大小为（ ）A 45 B 90 C 60 D 30【答案】C【解析】DA平面ABC，SABC=12ABAC=8，三棱锥的体积V=13SABCDA=83DA=323，DA=4，BD=AB2+DA2=42，
12、CD=DA2+AC2=42设BC的中点为F，连接EF，AF，如图，则EF=12CD=22，AF=12BC=22，AE=12BD=22，AEF是正三角形，AEF=60E是DB的中点，则EFDC，AEF是异面直线AE与DC所成的角，即异面直线AE与DC所成角的大小为60故选：C2.（2019湖北高三月考）如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示：取中点，连接，因为、分别是棱、的中点，且为中点，所以且，所以且；所以异面直线与所成的角即为或其补角，则，所以，所以异面直线与所成的角即为的补角：.故选：B.3（2019广东广雅中学高三开学考试（文）在
13、正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）ABC平面D平面【答案】C【解析】如下图所示，设，则为的中点，在正方体中，则四边形为平行四边形，.易知点、分别为、的中点，则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；四边形为正方形，则，在正方体中，平面，平面，平面，平面，同理可证，且，平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选：C.4（2019安徽高三开学考试（理）如图，在正方体中，是棱上动点，下列说法正确
14、的是（ ）A对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线B对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线C当点从运动到的过程中，与平面所成的角变大D当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小【答案】C【解析】对于A选项，平面，平面，平面，又平面，所以，A选项中的命题错误；对于B选项，反设平面内存在直线满足平面，平面，由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面，事实上，平面与平面不垂直，假设不存在，所以，B选项中的命题错误；对于C选项，由于到平面的距离不变且变小，设直线与平面所成的角为，则，可知在逐渐变大，C选项中的命题正确；对于D选项，由于点到平面的距离不变，的面积不变，则三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变，在点的运动过程中，的面积不变，由等体积法可知，点到平面的距离不变，D选项中的命题正确.故选：C.5.（河北省衡水中学2019届高
