《2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题17 立体几何中的最值问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题17 立体几何中的最值问题（解析版）（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 立体几何 专题17 立体几何中的最值问题【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要
2、牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.一、涉及几何体切接问题最值计算求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；二.涉及角的计算最值问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法
3、等，依据题目选择方法求出结果2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角四结论3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-二证-三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1. （
4、2018全国高考真题（理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.例2.（2018全国高考真题（文）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】如
5、图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有故选B.例3.（2017全国高考真题（理）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|1
6、，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），|1，直线b的方向单位向量（1，0，0），|1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B（cos，sin，0），其中为BC与CD的夹角，0，2），AB在运动过程中的向量，（cos，sin，1），|，设与所成夹角为0，则cos|sin|0，正确，错误设与所成夹角为0，cos|cos|，当与夹角为60时，即，|sin|，cos2+sin21，cos|cos|，0，
7、此时与的夹角为60，正确，错误故答案为：例4.（2017全国高考真题（理）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_【答案】【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x0)，则.， ，三棱锥的体积.设，x0，则，令，即，得，易知在处取得最大值.例5.（2016浙江高考真
8、题（理）如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC中，因为AB=BC=2,ABC=120，所以BAD=BCA=30.由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB =22+22-222cos120=12，所以AC=23.设AD=x，则0x23，DC=23-x.在ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2-2ADABcosA =x2+22-2x2cos30 =x2-23x+4.故BD=x2-23x+4.在PBD中，PD=AD=x，PB=BA=2.
9、由余弦定理可得cosBPD=PD2+PB2-BD22PDPB=x2+22-(x2-23x+4)2x2=32，所以BPD=30.由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.过P作直线BD的垂线，垂足为O.设PO=d，则SPBD=12BDd=12PDPBsinBPD，即12x2-23x+4d=12x2sin30，解得d=xx2-23x+4.而 BCD的面积S=12CDBCsinBCD=12(23-x)2sin30=12(23-x).当平面PBD平面BDC时：四面体PBCD
10、的体积V=13SBCDd=1312(23-x)xx2-23x+4 =16x(23-x)x2-23x+4.观察上式，易得x(23-x)x+23-x2，当且仅当x=23-x，即x=3时取等号，同时我们可以发现当x=3时，x2-23x+4取得最小值，故当x=3时，四面体PBCD的体积最大，为12.例6.（2019安徽芜湖一中高三开学考试）在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）为直角三角形，且斜边为，.将以直线为轴旋转得到，则，即.二面角是直二面角，即平面平面.又平面
11、平面，平面，平面.平面，因此，平面平面；（2）在中，斜边，且.由（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.在中，当时，取最小值，此时取最大值，且.因此，即直线与平面所成角的正弦的最大值为.例7.（2019深圳市高级中学高三月考（文）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若BC=2，点E在线段PB上，求CEOE的最小值【答案】（1）见解析；（2）13；（3）2+62【解析】 (1)证明：在AOC中，因为OAOC，D为AC的中点，所以ACDO.又PO垂
12、直于圆O所在的平面，所以POAC.因为DOPOO，所以AC平面PDO.(2)解：因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB2，所以ABC面积的最大值为12211.又因为三棱锥PABC的高PO1，故三棱锥PABC体积的最大值为1311=13. (3)解：在POB中，POOB1，POB90，所以PB=12+12=2.同理PC2，所以PBPCBC.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示当O，E，C共线时，CEOE取得最小值又因为OPOB，CP=CB，所以OC垂直平分PB，即E为PB的中点从而OCOEEC22+62=2+
13、62，即CEOE的最小值为2+62.例8.（2016江苏高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.（1）若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）PO1=23【解析】（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱A
14、BCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2OO1=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0h6，OO1=4h.连结O1B1.因为在Rt PO1B1中，O1B12+PO12=PB12，所以（2a2）2+h2=36，即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=133a2h=263(36h-h3)(0h6)，从而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0，得h=23或h=-23（舍）.当0h0，V是单调增函数；当23h6时，V0，V是单调减函数.故h=23时，V取得极大值，也是最大值.因此，当PO1=23m时，仓库的容积最大.【压轴训练】1（2019四川石室中学高三开学考试（文）在中，已知，D是边AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设，则x的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答
