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1、高二第二学期承智班第2次考试数学试题一、单选题1已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D. 2定义在上的函数满足（其中为的导函数），若，则下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. 3设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 4已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）A. B. C. D. 5我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两
2、个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A. B. C. D. 6已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，交轴于点，若，则实数的取值是（ ）A. B. C. D. 与有关7若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8在三棱锥中，是边
3、长为2的等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 9己知函数，关于的方程恰好有三个不同的实数解，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题13若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_14已知是双曲线（，）的右焦点，是双曲线上位于第一象限内的一
4、点，直线的方程为，则双曲线的离心率为_15已知数列的前项和为，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为_16已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列：，即在和两项之间依次插入中个项，则_（用数字作答）三、解答题17已知函数.（1）若，求函数的极值点； （2）若，函数有两个极值点，且，求证： .18已知抛物线，且，三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦点（1）求证：、三点共线；（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求的最小值19已知函数，曲线在点处的切线方程为.（
5、1）求，的值；（2）证明:. 参考答案CDDDC BBABA 11C12C13或14151617（1）见解析；（2）见解析（1）的定义域为， 若，则，所以当时，所以在上单调递增，所以无极值点若，则，由得，.当的值变化时，的值的变化情况如下：+0-0+极大值极小值所以有极大值点，极小值点 （2）由（1）及条件可知 ， 且,即,，所以 ,记,，因为当时， ，所以在上单调递减， 因为，所以，即.18（1）见解析；（2）8.（1）由条件，可知，在抛物线上，是抛物线的焦点所以 解得 所以，所以，所以，所以、三点共线 （2）由条件可知，可设，代入，得， ，解得设，则，所以 ， 当且仅当，即或时，19（1）（2）见解析（1）解：由已知得，因为，所以.（2）证明：由（1）知，所以.设，要证，即要证在恒成立.因为，所以在上为增函数，在上为减函数，所以.又，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.由于不等式，不能同时取等号，故，所以，成立. - 8 -
