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1、福建省福州市三校联盟（连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学）2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出集合B，根据交集的定义计算即可。【详解】依题意，所以故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题2.设向量，若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量平行的公式，计算即可。【详解】依题意，解得故选D【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属基础题。3.下
2、列不等式正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可【详解】选项：当时，因此不正确；选项：取，则不成立；选项：由知，故，所以，正确；选项：时不成立综上可得：只有正确【点睛】本题考查不等关系和不等式的性质，考查分析推理的能力，属基础题。4.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 ，可得 ， 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关
3、于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项5.已知函数在定义域上是减函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的单调性可得，计算求解即可。【详解】依题意，所以，解得故选A【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题。6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得：，结合对数函数的单调性即可求解。【详解】方法一：依题意，因为，所以，即方法二：依题意，因为，所以，所以【点睛】本题考查对数的化简，对数函数单调性的应用，属基础题。7.函数 的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B.
4、 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】根据图象可得，则根据五点法作图可得，则故将函数向右平移个单位长度，可得故选A8.等比数列满足，则数列的前10项和是（ ）A. -35B. -25C. 25D. 35【答案】C【解析】【分析】依题意，根据等比数列的公式，可求得 ，代入即可求出，结合等差数列前n项和公式即可求解。【详解】设等比数列的公比为，则 ，解得，所以 ，所以，所以数列的前10项和故选C。【点睛】本题考查等比数列通项公式，等比数列与等差数列的转化，等差数列前n项和的求法，考查计算分析，化简求值的能力，属中档题。9.如图，一栋建筑物的高为 ，在
5、该建筑物的正东方向有一个通信塔，在它们之间的地面点（三点共线）处测得楼顶，塔顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶C的仰角为，则通信塔的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可.【详解】作AECD，垂足E，则：在AMC中，AM=20，AMC=105，ACM=30，AC=60+20，CD=30-10+AC=60m.本题选择B选项.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦
6、定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.10.如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接，三棱柱可分割为：，三部分，分析可得三部分体积相等，整理即可求解。【详解】设直三棱柱的体积为，连接，点、分别在棱和上，四棱锥的，的底面积相等，把直三棱柱分割为：，三棱锥的为，四棱锥，的体积之和为：，四棱锥的，的底面积，高相等四棱锥的，的体积相等，即为，棱锥，的体积相等，为，平面把三棱柱分成两部分的体积比为【点睛】本题考查椎
7、体体积的求法，考查空间想象能力，计算推理的能力，属中档题11.在中，是边上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，在中，由正弦定理得，在中，同理可得，化简整理可得结果。【详解】设，则在中，由正弦定理得，即，同理，在中，得，故，即，故所以。【点睛】本题考查正弦定理的应用，要点在于对两个三角形分别应用正弦定理，联立求解，考查计算化简的能力，属中档题。12.已知函数若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】方程可化为，令，可求得的解析式，并做出图像，若方程有三个互不相等的实根，则函数与直线有3个交
8、点，根据二次函数的图像与性质，即可求解。【详解】方程可化为，令，则，做出的图像，如图所示，由图可知，若方程有三个互不相等的实根，则函数与直线有3个交点，则不妨设，由二次函数图像关于直线对称可知， 令，得，所以，所以【点睛】本题考查分段函数解析式求法及其图像的作法，函数与方程的综合应用，考查分析求解的能力，数形结合、转化化归的思想，属中档题。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设的内角的对边分别为，若，则的最大内角的值为_【答案】【解析】【分析】根据大边对大角的原则可知为最大角，根据余弦定理，代入即可求解。【详解】因为，所以为最大角，由余弦定理得，因为，所
9、以【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题。14.已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则该长方体的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】分析可得，长方体的体对角线即为外接球直径，代入数据即可求解。【详解】长方体的体对角线即为外接球直径，所以外接球的表面积为【点睛】本题考查长方体的外接球问题，重点在于掌握长方体的体对角线即为外接球直径，属基础题。15.点是平行四边形所在平面上一点，且，若，则_【答案】【解析】【分析】根据题意以为轴建立直角坐标系，可求出各点坐标，设，因为，所以，即可得，即可求出、的坐标，代入向量的数量积公式，即可求解。【详解】方法一：如图，以为轴建立直角坐标系，由题意可得
10、各点坐标如下：，设，因为，所以，所以解得即，所以，所以 方法二：因为，所以，所以，所以；所以【点睛】本题考查向量在几何中的应用，优先使用向量的坐标形式计算，考查分析计算的能力，属基础题。16.已知，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】因为=1，结合均值不等式，整理即可得结果。【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立所以【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，均值不等式“1”的活用，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知是递增的等差数列，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项
11、和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）的根为x=2或x=4，根据题意可得，根据等差数列的公式，代入即可求解。（2）由（1）可得，根据裂项相消求和法，即可求得的前项和【详解】（1）方程可化为，解得，或， 由题意是递增的等差数列可得，设等差数列的公差为，则， 所以 （2）由（1）及题意得， 所以 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，裂项相消法求和，考查计算推理，化简求值的能力，属基础题。18.如图，在中，为边上一点，为等边三角形，.（1）若的面积为，求；（2）若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为，所以，又因为为等边三角形，即可求出。（2）设，则，在中，根据余弦定理，可解
12、得，在中，根据正弦定理，即可求解。【详解】（1）因为，所以， 另一方面， 所以，故 （2）设，则， 在中，由余弦定理得，即，解得， 所以 在中，由正弦定理，得， 所以【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，意在考查学生基础知识掌握的程度，考查计算分析，化简求值的能力，属基础题。19.已知函数（1）求的最小正周期及单调减区间；（2）若，求的值【答案】（1）的最小正周期，的减区间为，（2）【解析】【分析】（1），根据正弦型函数的性质即可求解。（2）由，可得，令，则，代入所求，结合二倍角公式，即可求解。【详解】（1）， 所以的最小正周期， 由，得， 所以的减区间为， （2）由，得，
13、即， 令，则，且，所以 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间，周期的求法，三角函数的化简求值，综合性较强，意在考查学生对这些基础知识理解水平和掌握程度，属中档题。20.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为（1）求广告牌的面积关于的函数；（2）求广告牌的面积的最小值【答案】（1）（2）广告牌面积的最小值为【解析】【分析】（1）设广告牌的宽为，根据题意可求出，所以广告牌的面积（2），根据均值定理，即可求解。【详解】（1）依题意设广告牌的宽为，则， 所以，且， 所以广告牌面积，（2）由（1）知， ， 当且仅当，即时等号成立 所以，答：广告牌的面积的最小值为【点睛】本题考查应用基本不等式解决实际问题，合理利用基本不等式是解题的关键，着重考查了分析推理，计算求值的能力，属基础题。21.已知的内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得，结合C的范围，化简整理，即可求解。（2）由正弦定理得，所求，又为锐角三角形，可求得，根据的单调性，即可求解。【详解】（1）由题意及正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，故 （2）由正弦定理得，所以，所以 ， 由得， 所以，故， 所以的取值范围为
