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1、2 3离散型随机变量的均值和方差 高二数学选修2 3 一 复习回顾 1 离散型随机变量的分布列 2 离散型随机变量分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 复习引入 对于离散型随机变量 可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率 但在实际问题中 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征 例如 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平 很重要的是看平均分 要了解某班同学数学成绩是否 两极分化 则需要考察这个班数学成绩的方差 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 1 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2
2、2 3 3 4 则所得的平均环数是多少 把环数看成随机变量的概率分布列 权数 加权平均 二 互动探索 2 某商场要将单价分别为18元 kg 24元 kg 36元 kg的3种糖果按3 2 1的比例混合销售 如何对混合糖果定价才合理 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 设Y aX b 其中a b为常数 则Y也是随机变量 1 Y的分布列是什么 2 EY 思考 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 二 数学期望的性质 三 基础训练 1 随
3、机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 则E 5 8 E 7 5 则a b 0 4 0 1 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球1次的得分X的均值是多少 一般地 如果随机变量X服从两点分布 则 四 例题讲解 小结 例2 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 他连续罚球3次 1 求他得到的分数X的分布列 2 求X的期望 解 1 X B 3 0 7 2 一般地 如果随机变量X服从二项分布 即X B n p 则 小结 基础训练 一个袋子里装有大小
4、相同的3个红球和2个黄球 从中有放回地取5次 则取到红球次数的数学期望是 3 离散型随机变量取值的方差 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的方差 称 为随机变量X的标准差 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量 它们的值越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 即越集中于均值 三 基础训练 1 已知随机变量X的分布列 求DX和 X 解 2 若随机变量X满足P X c 1 其中c为常数 求EX和DX 解 离散型随机变量X的分布列为 EX c 1 c DX c c 2 1 0 四 方差的应用 例 甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数X1 X2分布列如下 用击
5、中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 解 表明甲 乙射击的平均水平没有差别 在多次射击中平均得分差别不会很大 但甲通常发挥比较稳定 多数得分在9环 而乙得分比较分散 近似平均分布在8 10环 问题1 如果你是教练 你会派谁参加比赛呢 问题2 如果其他对手的射击成绩都在8环左右 应派哪一名选手参赛 问题3 如果其他对手的射击成绩都在9环左右 应派哪一名选手参赛 练习 有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 解 在两个单位工资的数学期望相等的情况下 如果认为自己能力很强 应选择工资方差大的单位 即乙单位 如果认为自己能力不强 就应选择工资
6、方差小的单位 即甲单位 五 几个常用公式 相关练习 3 有一批数量很大的商品 其中次品占1 现从中任意地连续取出200件商品 设其次品数为X 求EX和DX 117 10 0 8 2 1 98 课堂小结 一 离散型随机变量的期望和方差 二 性质 三 如果随机变量X服从两点分布 四 如果随机变量X服从二项分布 即X B n p 1 一次英语单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且只有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的
7、成绩的期望 五 巩固应用 2 决策问题 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪水的概率为0 01 该地区某工地上有一台大型设备 遇到大洪水时要损失60000元 遇到小洪水时要损失10000元 为保护设备 有以下种方案 方案1 运走设备 搬运费为3800元 方案2 建保护围墙 建设费为2000元 但围墙只能挡住小洪水 方案3 不采取措施 希望不发生洪水 试比较哪一种方案好 3 某商场的促销决策 统计资料表明 每年国庆节商场内促销活动可获利2万元 商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 如遇下雨则损失4万元 9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40 商场应选择哪种促销方式 4 0
8、7全国 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的分起付款期数的分布列为 商场经销一件该商品 采用1期付款 其利润为200元 分2期或3期付款 其利润为250元 分4期或5期付款 其利润为300元 表示经销一件该商品的利润 1 求事件A 购买该商品的3位顾客中 至少有一位采用1期付款 的概率P A 2 求的分布列及期望E E 1000 0 03a 0 07a 得a 10000 故最大定为10000元 练习 1 若保险公司的赔偿金为a a 1000 元 为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七 则保险公司应将最大赔偿金定为多少元 2 射手用手枪进行射击 击中目标就停止 否则继续射击 他射中目标的概率是0 7 若枪内只有5颗子弹 求射击次数的期望 保留三个有效数字 E 1 43 六 课堂小结 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 二 数学期望的性质 三 如果随机变量X服从两点分布 则 四 如果随机变量X服从二项分布 即X B n p 则 证明 所以 若 B n p 则E np 证明 若 B n p 则E np
