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1、第四章 第 1 题答案 当取初始点 3 0 0 x 时 11 1 56 0 2 x 63 0 2 xf 第2题答案 取 3 0 0 x 时 57 1 97 0 2 x 17 0 2 xf 第3题答案 1 1 2 x 1 2 xf 第4题答案 取 1 1 0 x 时 99 5 48 2 25 1 x 996 7 2 xf 第5题答案 可参考表4 1 第五章 第 1 题答案 T x333 0 0 0 4 时 567 5 jjx cxf 第 2 题答案 4280 0 84 24 20 zx T 第 3 题提示 求解方法可参考第四节中的应用实例 第 4 题提示 如果设分别以 五种下料方 式所用钢材的件
2、数 则此问题的数学模型是 求一组的 值 满足下列限制条件 54321 xxxxx 5 2 1 L jx j 5 2 1 0 1003 23 100 22 100 2 5321 543 421 Ljx xxxx xxx xxx j 使总的尾料 5432 8 03 02 01 0 xxxxz 达到最小 第六章 第 1 题答案 176 1 822 0 1k x 第 2 题答案 945 5 4825 1 2 R x 43 41 1 R f 第3题答案 707 0 707 0 k d 第4题答案 97 0 243 0 0 k d 第5题答案 当时 该问题的最优解为 0 r 3 2 x 3 1 x 第六章
3、习题解答第六章习题解答 1 已知约束优化问题 02 0 1 2 min 212 2 2 11 2 2 2 1 xxxg xxxgts xxxf 试从第 k 次的迭代点 出发 沿由 1 1 区间的随机数 0 562 和 0 254 所确定的方向进行搜索 完成一次迭代 获取一个新的迭代点 T k x21 1 k x 并作图画出目标函 数的等值线 可行域和本次迭代的搜索路线 解解 1 确定本次迭代的随机方向 T T R S0 4120 911 0 2540 562 0 254 0 2540 562 0 562 2222 2 用公式 计算新的迭代点 步长 取为搜索到约束边界 上的最大步长 到第二个约束
4、边界上的步长可取为 2 则 R kk Sxx 1 176 1 412 0 22 822 0911 021 22 1 2 11 1 R kk R kk Sxx Sxx 176 1 822 0 1k X即 该约束优化问题的目标函数的等值线 可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示 2 已知约束优化问题 0 0 025 124 min 23 12 2 2 2 11 2 21 xxg xxg xxxgts xxxf 试以 T TT xxx33 14 12 0 3 0 2 0 1 为复合形的初始顶点 用复合形法进行 两次迭代计算 解解 1 计算初始复合形顶点的目标函数值 并判断各顶点是否为可行点 9 3 5
5、12 0 1 0 1 0 3 0 3 0 2 0 2 33 14 fx fx fx 经判断 各顶点均为可行点 其中 为最坏点 为最好点 0 2 0 3 xx 2 计算去掉最坏点 后的复合形的中心点 0 2 x 3 3 2 5 2 2 11 3 2 1 00 3 3 1 2 i i ic x L x 3 计算反射点 取反射系数 1 R x3 1 20 69 3 3 0 55 1 4 2 2 5 1 3 2 2 5 11 0 2 001 RR ccR fx xxxx 值为可行点 其目标函数经判断 4 去掉最坏点构成新的复合形 在新的复合形中 1 R 0 3 0 1 xxxx和 由 0 2 进行新的
6、一轮迭代 为最坏点为最好点 0 1 1 R xx 5 计算新的复合形中 去掉最坏点后的中心点得 3 15 1 775 3 3 0 55 3 3 2 1 1 c x 6 计算新一轮迭代的反射点得 完成第二次迭代 值为可行点 其目标函数经判断413 1 4 5 945 1 4825 1 2 3 15 1 775 1 3 3 15 1 775 12 0 1 112 RR ccR fx xxxx 3 设 已 知 在 二 维 空 间 中 的 点 Txxx 21 并 已 知 该 点 的 适 时 约 束 的 梯 度 目标函数的梯度 T g11 Tf15 0 试用简化方法确定一个适用 的可行方向 解解 按公式
7、 6 32 计算适用的可行方向 kkk xfPxfPd k x 点的目标函数梯度为 T k xf15 0 k x 点处起作用约束的梯度 G 为一个Jn 阶的矩阵 题中 n 2 J 1 T k xgG11 1 梯度投影矩阵 P 为 5 05 0 5 05 0 011 1 1 11 1 1 10 01 1 1 TT GGGGIP 则 适用可行方向为 707 0 707 0 1 0 5 0 50 5 0 50 5 1 0 5 0 50 5 0 50 5 k d 4 已知约束优化问题 0 0 0 3 4 min 33 22 11 3 4 3 2 221 2 1 xg xg xgts xxxxxxf 试
8、求在点的梯度投影方向 Tk x1 21 40 解解 按公式 6 32 计算适用的可行方向 kkk xfPxfPd k x 点的目标函数梯度为 T k xf125 0125 0 k x 点处起作用约束的梯度 G 为一个Jn 阶的矩阵 题中 n 3 J 1 T k xgG001 1 梯度投影矩阵 P 为 100 010 000 001 0 0 1 001 0 0 1 100 010 001 1 1 TT GGGGIP 则 适用可行方向为 97 0 243 0 0 1 25 0 10 0 0 1 0 25 0 125 100 010 0000 125 0 01 00 k d 5 用内点法求下列问题的
9、最优解 03 12 21 1 2 2 2 1 xgts xxxxfmin 提示 可构造惩罚函数 然后用解析法求解 2 1 ln u u xgrxfrx 解解 构造内点惩罚函数 2 1 u u xrxxxxgrxfrx 3ln 12ln 21 2 2 2 1 令惩罚函数对 x 的极值等于零 0 3 2 22 22 1 xrx x dx d 得 4 8366 1 2 1 r x x 舍去负根后 得 4 8366 2 r x 当 Txxr3130 2 该问题的最优解为 时 6 用外点法求下列问题的最优解 0 0 min 12 2 2 11 21 xg xxgts xxxf 解 解 将上述问题按规定写
10、成如下的数学模型 subroutine ffx n x fx dimension x n fx x 1 x 2 end subroutine ggx n kg x gx dimension x n gx kg gx 1 x 1 x 1 x 2 gx 2 x 1 end subroutine hhx n kh x hx domension x n hx kh hx 1 0 0 end 然后 利用惩罚函数法计算 即可得到如下的最优解 PRIMARY DATA N 2 KG 2 KH 0 X 1000000E 01 2000000E 01 FX 3000000E 01 GX 1000000E 01
11、1000000E 01 X 1000000E 01 2000000E 01 FX 3000000E 01 GX 1000000E 01 1000000E 01 PEN 5000000E 01 R 1000000E 01 C 2000000E 00 T0 1000000E 01 EPS1 1000000E 05 EPS2 1000000E 05 OPTIMUM SOLUTION IRC 21 ITE 54 ILI 117 NPE 3759 NFX 0 NGR 0 R 1048577E 13 PEN 4229850E 06 X 9493056E 07 7203758E 07 FX 1669681E
12、 06 GX 7203757E 07 9493056E 07 7 用混合惩罚函数法求下列问题的最优解 01 0 212 11 12 xxxh xxgts xxxf ln min 解 解 将上述问题按规定写成如下的数学模型 subroutine ffx n x fx dimension x n fx x 2 x 1 end subroutine ggx n kg x gx dimension x n gx kg gx 1 log x 1 gx 2 x 1 gx 3 x 2 end subroutine hhx n kh x hx domension x n hx kh hx 1 x 1 x 2
13、1 end 然后 利用惩罚函数法计算 即可得到如下的最优解 PRIMARY DATA N 2 KG 3 KH 1 X 2000000E 01 1000000E 01 FX 1000000E 01 GX 6931472E 00 2000000E 01 1000000E 01 X 2000000E 01 1000000E 01 FX 1000000E 01 GX 6931472E 00 2000000E 01 1000000E 01 HX 2000000E 01 PEN 5942695E 01 R 1000000E 01 C 4000000E 00 T0 1000000E 01 EPS1 1000
14、000E 05 EPS2 1000000E 05 OPTIMUM SOLUTION IRC 29 ITE 143 ILI 143 NPE 1190 NFX 0 NGR 172 R 7205765E 11 PEN 9999720E 00 X 1000006E 01 3777877E 05 FX 1000012E 01 GX 5960447E 05 1000006E 01 6222123E 05 HX 2616589E 06 8 有一汽门用弹簧 已知安装高度 H1 50 8mm 安装 初始 载荷 F1 272N 最大工作载 荷 F2 680N 工作行程 h 10 16mm 弹簧丝用油淬火的 50C
15、rVA 钢丝 进行喷丸处理 工作温度 126 C 要求弹簧中径为 20mm D2 50mm 弹簧总圈数 4 n1 50 支 承圈数 n2 1 75 旋绕比 C 6 安全系数为 1 2 设计一个具有重量最轻的结构方案 解解 1 设计变量 影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径 d 弹簧中径 D1 和弹簧总圈 数 n1 可取这三个参数作为设计变量 即 H D x x x 2 1 2 目标函数 弹簧的重量为 12 22 0 25nDdW 式中 钢丝材料的容重 36 107 8mmkg 目标函数的表达式为 32 2 1 6 11 262 101925 0108 725 0 xxxnDdxF 约束条件 弹簧
16、的疲劳强度应满足 min SS 式中 2 1 minmin SS 可取最小安全系数 按题意 S 弹簧的疲劳安全系数 由下式计算 m ss s S 00 0 2 式中 劳极限 计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲 0 初选弹簧钢丝直径 4mm d 8mm 其抗拉强度MPa b 1480 取弹簧的循环工作次 数大于 则材料的脉动循环疲劳极限为 7 10 MPa b 44414803 03 0 0 设可靠度为 90 可靠性系数 868 0 r k 工作温度为 126 C 温度修正系数 862 0 126273 344 273 344 T kt 再考虑到材料经喷丸处理 可提高疲劳强度 10 则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为 MPakk tr 4 365444862 0868 01 1 1 01 00 s 弹簧材料的剪切屈服极限 计算公式为 MPa bs 74014805 05 0 弹簧的剪应力幅 计算公式为 3 2 8 d DF k a 式中 k 曲度系数 弹簧承受变应力时 计算公式为 14 0 2 6 1615 0 44 14 dDCC C k a F 载荷幅 其值为 NFFFa2042 2726
