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1、学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 学点六 学点七 1 一般地 函数叫做指数函数 其中x是 函数的定义域是值域是 2 函数y ax a 0 且a 1 当时 在 上是增函数 当时 在 上是减函数 3 y ax a 0 且a 1 的图象一定过点 当a 1时 若x 0 则y 若x0 则y 若x0 且a 1 m 0 的图象可以看成指数函数y ax的图象向平移个单位得到的 函数y ax m a 0 且a 1 m 0 的图象可以看成指数函数y ax的图象向平移个单位得到的 y ax a 0 且a 1 自变量 R 0 a 1 0 a 1 0 1 1 0 1 0 1 1 右 2 右 m 左 m 5 函数y
2、 ax和y a x的图象关于对称 函数y ax和y ax的图象关于对称 函数y ax和y a x的图象关于对称 6 当a 1时 af x ag x 当0ag x f x 1时 在区间D上是函数 当0 a 1时 在区间D上是函数 y轴 y轴 原点 f x g x 增 减 减 增 学点一基本概念 指出下列函数中 哪些是指数函数 1 y 4x 2 y x4 3 y 4x 4 y 4 x 5 y x 6 y 4x2 7 y xx 8 y 2a 1 x a 且a 1 分析 根据指数函数的定义进行判断 解析 由定义 形如y ax a 0 且a 1 的函数叫指数函数 由此可以确定 1 5 8 是指数函数 2
3、 不是指数函数 3 是 1与指数函数4x的积 4 中底数 4 0 所以不是指数函数 6 是二次函数 不是指数函数 7 底数x不是常数 不是指数函数 评析 基本初等函数 一次函数 二次函数 指数函数及后面将要学到的对数函数 幂函数 都有一定的形式 要注意定义的要求 已知指数函数y m2 m 1 x 则m 解 y m2 m 1 x为指数函数 m2 m 1 1 即m2 m 0 m 0或 1 0或 1 学点二函数的定义域值域 求下列函数的定义域 值域 1 y 2 2 y 3 y 4x 2x 1 1 4 y 10 分析 由于指数函数y ax a 0 且a 1 的定义域是R 所以函数y af x a 0
4、且a 1 与函数f x 的定义域相同 利用指数函数的单调性求值域 解析 1 令x 4 0 得x 4 定义域为 x x R 且x 4 0 2 1 y 2的值域为 y y 0 且y 1 2 定义域为x R x 0 y 1 故y 的值域为 y y 1 3 定义域为R y 4x 2x 1 1 2x 2 2 2x 1 2x 1 2 且2x 0 y 1 故y 4x 2x 1 1的值域为 y y 1 评析 求与指数函数有关的函数的值域时 要充分考虑并利用指数函数本身的要求 并利用好指数函数的单调性 如第 1 小题切记不能漏掉y 0 4 令 0 得 0 解得x 1或x 1 故定义域为 x x 1或x 1 值域
5、为 y y 0 且y 10 求下列函数的定义域 1 y 2 2 y 3 y 1 6 1 要使函数有意义 必须1 x 0 即x 1 函数的定义域是 x x R 且x 1 2 要使函数有意义 必须 0 则 2 1 x2 1 即 1 x 1 函数的定义域是 x 1 x 1 3 根据题意得1 6 0 即6 1 60 6 1 x2 x 2 0 解得 2 x 1 函数的定义域是 2 1 学点三比较大小 比较下列各题中两个数的大小 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 分析 将所给指数值化归到同一指数函数 利用指数函数单调性比较大小 若不能化归为同一
6、底数时 或求范围或找一个中间值再比较大小 解析 1 指数函数y 1 7x 由于底数1 7 1 指数函数y 1 7x在 上是增函数 2 5 0 2 0 8 0 11 70 1 0 93 10 93 1 评析 比较大小一般用函数单调性 而比较1 70 3与0 93 1的大小 可在两数间插入1 它们都与1比较大小可得结论 注意此类题在求解时 常插入0或 1 比较下列各题中数的大小 1 0 8 0 9 2 0 23 0 25 3 3 2 1 1 y x在R上是减函数 又 0 8 0 9 2 0 25 0 25 由y x在R上是增函数得即 3 而y 为R上的减函数 即 学点四最值问题 求函数y x 3
7、2 的最大值和最小值 分析 令 t 化函数为关于t的二次函数 再求解 解析 令 t x 3 2 t y t2 t 1 当t 时 y 当t 8时 y 57 函数的最大值为57 最小值为 评析 化为二次函数 用配方法求解是一种常用的方法 已知函数y a2x 2ax 1 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 求a的值 令t ax x 1 1 且a 1 t 原函数化为y t2 2t 1 t 1 2 2 单调增区间是 1 当t 时 函数单调递增 当t a时 a 1 2 2 14 解得a 3或a 5 又 a 1 a 3 学点五单调性的判定 分析 这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题 指数 x2
8、 3x 2 当x 时 是减函数 x 时 是增函数 而f x 的单调性又与01两种范围有关 应分类讨论 评析 一般情况下 两个函数都是增函数或都是减函数 则其复合函数是增函数 如果两个函数中一增一减 则其复合函数是减函数 但一定要注意考虑复合函数的定义域 讨论函数f x 的单调性 并求其值域 f x 的定义域为R 令u x2 2x 则f u 又 u x2 2x x 1 2 1在 1 上是增函数 即当时 有 又 f u 在其定义域内为减函数 函数f x 在 1 上为减函数 同理可得f x 在 1 上为增函数 又 u x2 2x x 1 2 1 1 f u 在 1 上是减函数 f u 即f x 的值
9、域为 学点六函数的图象及应用 解析 其图象是由两部分合成的 一是把y 2x的图象向右平移1个单位 在x 1的部分 二是把的图象向右平移1个单位 在x 1的部分 对接处的公共点为 1 1 如上图 分析 指数函数的复合函数常常由指数函数经过平移变换 对称变换 翻折变换等得到 经过这些变换其性质与图象将发生变化 画出函数的图象 并根据图象指出这个函数的一些重要性质 由图象可知函数有三个重要性质 1 对称性 对称轴为x 1 2 单调性 1 上单调递减 1 上单调递增 3 函数的值域 1 评析 作较复杂函数的图象 本题称分段函数 要把各部分变换而得到一个整体 为了表示某部分是某个函数图象的一部分 常画出
10、一些虚线进行衬托 虚线部分不是函数图象上的点 应注意区别 画出函数y 2x 1 1的图象 然后指出其单调区间及值域 先画出指数函数y 2x的图象 然后将其向右平移一个单位 再向上平移一个单位即可 由图象可看出函数的单调增区间为 函数的值域为 1 设a 0 f x 在R上满足f x f x 1 求a的值 2 证明 f x 在 0 上是增函数 分析 f x f x 说明f x 是偶函数 由此求a 单调性只能用定义证明 解析 1 因为对一切x R有f x f x 即 所以对一切x R成立 由此可得即a2 1 又因为a 0 所以a 1 学点七指数函数的综合应用 评析 指数函数的复合函数的性质是学习的重
11、点 研究这些性质 使用的方法仍是前面学习的基本方法 2 证明 f x 在 0 上是增函数 设a是实数 f x a x R 1 证明 不论a为何实数 f x 均为增函数 2 试确定a的值 使f x f x 0成立 1 证明 设x1 x2 R 且x1 x2 x1 x2 0 则f x1 f x2 a a 由于指数函数y 2x在R上是增函数 且x1 x2 所以 即 又由2x 0得所以f x1 f x2 0 因为此结论与a的取值无关 所以不论a为何实数 f x 均为增函数 2 由f x f x 0得得a 1 1 解题时需要注意什么问题 1 函数y ax的图象与性质是本学案的核心 对a 1或00 且a 1
12、时 函数y ax与函数y 的图象关于y轴对称 3 由函数y 2x y 2x 1的图象可以看出 将函数y 2x的图象向左平移1个单位 就得到函数y 2x 1的图象 注意不要把方向搞错 4 结合图象记忆性质 直接进行运算 判断是学习本学案应特别注意的思想方法 2 指数函数的定义中 需要注意什么 指数函数的定义中 要注意以下几点 1 指数函数的定义是形式性的定义 2 a x位置易混 应牢记指数函数自变量的位置 1 掌握指数函数图象的规律 是数形结合研究指数函数有关问题的必备基础 2 当指数函数底数大于1时 图象上升 且当底数越大 图象向上越靠近于y轴 当底数大于0小于1时 图象下降 底数越小 图象向下越靠近于x轴 简称当x 0时 底大 图象高 祝同学们学习上天天有进步
