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1、三垂线定理练习课二教学目标1进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理；2应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题；3通过解综合题提高学生解综合题的能力教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的题教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”教学设计过程师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题其中大多是基本题今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力现在看例1例1 如图1，已知：PAPB，PAPC，PBPC，求证：ABC是锐角三角形师：这一题证
2、法很多，所以我们要多想几种证法所以 BAC是锐角同理可证ABC，ACB都是锐角师：我们能不能直接用三垂线定理来证？生：由已知可得PA平面PBC在直角三角形PBC中，作PDBC于D，因为PBC，PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PDBC（三垂线定理）对于ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以ABC，ACB都是锐角，同理可证BAC也是锐角师：能不能用公式cos1cos2cos来证明ABC为锐角三角形？生：因AP平面PBC，所以ABP是线面角，相当于1，PBC相当于2，因1，2都是锐角所以cos10，cos20，coscos1cos20，所以为锐角。即ABC是锐角，同理可证BA
3、C，ACB都是锐角师：我们用了三种方法来证明ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质看例2例2 如图2，已知：PAPB，PAPC，PBPCPH平面ABC于H求证：H点是ABC的垂心师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是ABC的垂心，只要证AHBC即可生：因为 PABP，PACP，所以 PA平面PBC故 PABC对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线因为 PABC，所以 AHBC同理可证BHAC，CHAB故H是ABC的垂心师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3例3 如图3，ABC中，BAC是锐角，PA平面ABC于A，A
4、O平面PBC于O求证：O不可能是PBC的垂心师：要证明O不可能是PBC的垂心，用什么方法？生：用反证法师：为什么想到用反证法？生：因为直接证不好证师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明生：假设O是PBC的垂心，则BOPC对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影因为 BOPC，所以 ABPC又因为 PA平面ABC，PAAB，所以AB平面PAC，ABAC，BAC是直角，与已知BAC是锐角相矛盾所以假设不能成立，所以O不可能是PBC的垂心师：分析例3我们可以看出例3是由例
5、2演变而来也就是说在PAAB，PAACO是PBC的垂心条件下一定可以推导出ABAC是例2的逆命题再加以演变而得现在我们来看例4例4 如图4，已知：AOB在平面内，AOB60，PO是平面的一条斜线段，POAPOB45，PP平面于P，且PP3求：（1）PO与平面所成的角的正弦；（2）PO的长师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题生：因POAPOB，所以OP是AOB的平分线，POP相当于1，230，45，由cos1cos30cos师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型下面我们来看例
6、5（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？生：作MPA1B1于P，又因为D1A1平面A1ABB1，所以A1D1PM，故PM平面A1B1C1D1师：对于平面A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线，NP是MN在平面A1B1C1D1上的射影我们要证MN
7、B1D1，只要证PNB1D1即可在正方形A1B1C1D1中，我们知道A1C1B1D1，所以现在只要证PNA1Q1即可我们如何利用已知条件来证PNA1O1O1NNB1，所以PNA1O1，所以PNB1D1，故MNB1D1同理可证MNA1B，所以MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，如何求出MN的长？师：这是一道很好、很典型的题，它很巧妙、很直接地求出异面直线A1B，B1D1的公垂线及这两异面直线的距离这一道题我们的先人们是如何想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探索今天就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是
8、应用上节课刚讲过的基本题来解较综合的题作业补充题1已知：正方形ABCD的边长为10，O为正方形中心，PO平2已知：在ABC中，BAC90，PCABC所在平面，D为AB上一点，PA，PD，PB与平面ABC分别成60，45，30的角，求证：D是AB的中点3将正方形ABCD沿对角线BD折起来，使A点在平面BCD的射影O恰好在BD上，又CD的中点为E，求证：AECD提示：对于平面BCD来说，AO是垂线，OE是斜线AE在平面上的射影AB13，AC15，A1B5，A1C9试比较BAC与BA1C的大小提示：用余弦定理可得BACBA1C5已知：矩形ABCD所在平面为，点P，但P BC作PQ平面，问：点P在什么位置时，QCB分别是（1）直角，（2）锐角，（3）钝角，并加以证明提示：利用cos1cos2cos公式7用心 爱心 专心
