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1、数学问题解答 2001年10月号问题解答 解答由问题提供人给出 1336 O中 直径AB垂直于非直径的弦CD 弦 AE与半径OC交于点F 弦DE交弦BC于点G 求 证 FG AB 四川省普格县荞窝农场子弟学校 王承宣 615302 证明 如图 连结BD CA AB CD CA DA CB BD COA CBD 又AO CO ACF GCD 又 EAO EDB CAF CDE ACO CBD AOF DBG ACF DCG CF CG AC CD AO BD FO GB 即 CF FO CG GB 故FG AB 1337 直角梯形ABCD中 AD BC AB BC E为AB的中点 F为BC的中点
2、 且AD DC 求 证 CE DF 安徽省肥西中学 刘运宜 231200 证明 设CE与DF的交点为P 过E作EG BC交DC于点G 连结CA交EG于点O 交DF 于点Q 连结DO并延长交BC于点H 再连AH OF E是AB的中点 且EG BC EO既是 ABC的中位线 又是梯形 ABHD的中位线 OA OC EO 1 2 BH AD AD DC DH AC DAC DCA 而 DAC HCA DCA HCA OD OH 四边形AHCD是菱形 AD HC 又 O F分别是AC BC的中点 OF是 ABC的中位线 OF AB 而AB BC OF BC OF EG 在 ABC和 ODA中 ACB
3、DAO ABC 90 DOA ABC DOA BC AB OA OD 在 EOC和 FOD中 OE OF 1 2 BH AD 1 2 AB BH CH AB BC AB OC OD OA OD OE OF OC OD 而 EOF COF DOC COF 即 EOC FOD EOC FOD OCE ODF 又 OQD PQC CPQ DOQ 而 DOQ 90 CPQ 90 即CE DF 1338 设 f x 是定义在实数集上的有界函数 且 对任意x R恒有 f x a1 f x a4 f x a2 f x a3 其中a1 a2 a3 a4是等差数 列 其公差d 0 求证 f x 是周期函数 四
4、川 省 越 西 县 越 西 中 学 熊 昌 进 616650 证 f x a4 f x a3 f x a2 f x a1 即 f x 3d f x 2d f x d f x f x 5d f x 4d f x 3d f x 2d 则f x 5d f x 4d f x d f x f x 2n 1 d f x 2nd f x d f x 由 得 f x 4d f x 3d f x 2d f x d f x 6d f x 5d f x 2d f x d f x 2n 2 d f x 2n 1 d f x 2d f x d 由 得 f x 2n 2 d f x 2 d 842001年 第11期 数学
5、通报 n f x 2d f x 上式对所有n N都成立 又 f x 有界 则 上式左边有界 故只能有上式右边的f x 2d f x 0 即f x 2d f x 成立 1339 对a b c N a b c 9 求使数列ab aacb aaaccb aaaacccb 中每个数都是完全 平方数的a b c 新疆石河子大学师范学院数学系 孙风军 832003 解 由aa a n个a cc c n 1个c b a 10n10n 1 10 1 c 10n 1 10 1 b c 1 9 a 102 n c a 10 n 9b 10c 要使上式为一个完全平方 必有a 1或a 4 当a 1时 由 c a 2
6、2 9b 10c 得 b 6 c 5 当a 4时 由 c a 4 2 9b 10c 得 b 9 c 8 故得此问题的解是 a 1 b 6 c 5 或 a 4 b 9 c 8 1340 锐角 ABC中 外接圆半径R 1 A B C的对应边为a b c 求证 a 1 sinA b 1 sinB c 1 sinC 18 12 3 当且仅当 ABC为正三角形时等号成立 西安交大附中 樊益武 崔柏 710049 证明 由正弦定理易知 原不等式等价于 sinA 1 sinA 9 6 3 其中 表示循环和 下同 sinA 1 sinA sinA 1 sin A 1 sin2A tan2A tanA1 tan
7、2A sinA 1 sinA tan2A tanA1 tan2A 1 tanA tanB tanC tanAtanBtanC tanBtanC 1 tanB tanA tanC tanA tanBtanC 3 tanB tanC tanC tanB 9 tan2A tanBtanC 9 2 又tanA1 tan2A tan2A tan4A 1 12 tan2A tan4 A 3 9 1 12 3tanA 3tan2A 3 2 tan2A 1 2 tanA 3 tanA 3 3 tanAtanBtanC 3 3 tanA 即 tanA 3 3 4 由 1 2 3 4 得 sinA 1 sinA
8、tan2A 3 2 tan2A 1 2 tanA 1 2 2 3 tan2A tanA 1 2 9 2 3 3 3 9 6 3 由证明不难看出取等号的条件 2001年11月号问题 来稿请注明出处 编者 1341 锐角 ABC中有内接 DEF FD BC于 D DE AC于E EF AB于F 求证 S ABC 3S DEF 武汉华中理工大学西十四舍5号 黄元兵 430074 1342 ABC中 BC a CA b AB c 求证 a b b c a b c c a b c a a b c 6 湖北黄石二中 杨志明 435000 1343 ABC中 BE CF为AC AB边上的高 FP BC于P FQ AC于Q EM BC于M EN AB于N FP FQ CF EM EN BE 求证 ABC为等边三角形 厦门九中 陈四川 361004 1344 若a1 a2 an为满足条件a1 a2 an 1 a1 1 a2 1 an 的正数 求证 对任何n N有 1 a1 n 1 1 a2 n 1 1 an n 1 1 南昌大学附中 宋庆 330029 1345 折迭一张长方形纸片 使它的一个顶点落 在与该顶点不相邻的边上 如何折才能使折缝最 长 最短 合肥市旅游学校 朱长青 230011 942001年 第11期 数学通报
