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1、永春一中高二年期末考数学（理）科试卷 （2018.02）考试时间：120分钟 试卷总分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知在ABC中，角A是三角形一内角，则角A（ ）A30 B60 C150 D30或1502抛物线的准线方程是，则a的值为（ ）A4 B8 C D3已知向量，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则（ ）A B C D 4数列的前n项和为，满足，则的值为（ ）A57 B58 C62 D635短轴长为
2、，离心率的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）A5 B6 C7 D86如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体，的中点E与AB的中点F的距离为（ ）A B Ca D7已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A B3 C5 D8在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（ ）A和AC、MN都垂直 B垂直于AC，但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于AC D与AC、MN都不垂直9已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为，若直线与椭圆交于点M，满足，
3、则离心率是（ ）A B C D 10抛物线的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足，则AFB的最大值（ ）A B C D11如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，则点A到平面MBC的距离为（ ）A B C D12已知A、B为椭圆E：的左、右顶点，点P在E上，在APB中，则E的离心率为（ ）A B C D 二、填空题（本大题共4小题，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）13如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于10，那么点P到另一个焦点F2的距离是 14若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面所成角
4、的正弦值等于 15如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为 16已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.）17（本题满分为10分）已知数列的前n项和为，若（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和18（本题满分为12分）如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，A1ADA1AB60，BAD90，ABA
5、DAA11（1）求满足的实数x、y、z的值（2）求AC1的长 19（本题满分为12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小（2）若，求ABC的面积20（本题满分为12分）已知抛物线与直线相交于A，B两点（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值21（本题满分为12分）如图，直角梯形ABCD中，DAB90，ADBC，AB2，椭圆F以A、B为焦点且过点D（1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（2）若点E满足，是否存在斜率k0的直线l与椭圆F交于MN两点，且，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由22（本题满分为12分）如图，四棱锥PABCD
6、中，PA平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DAAB，ADBC，PA2ADBC2，AB（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角试判断曲线E的形状并说明理由；（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及的范围 永春一中高二年期末考数学（理）科试卷答案 （2018.02）1D2
7、C3D 4A 5B 6B 7A8A9B10B 11A 12C1314 14 15 16 17解：（1）当时，-1分当时，-4分化简，得：检验，时，代入上式符合则；-5分（2）解：由题意知：， -7分，-9分解得： -10分18解： 所以分 分 19解：化为：，-2分由正弦定理，得：，又三角形中，化简，得：即：，-5分又：中，得：；-6分把化为：，由三角形内角和定理，得：，-7分根据正弦定理，得：，又，-8分结合余弦定理：，即为，解得：，-10分由面积公式：，得：-12分20解：证明：由方程消去x后，整理得设、，由韦达定理-2分、B在抛物线上， -4分，-6分设直线与x轴交于N，又显然，令，则，
8、即-7分，-9分，解得-12分21解：（1）以AB中点为原点所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图则设椭圆F的方程为，由 得，所求椭圆F方程（2）由得显然时不合条件，设l方程代入，得l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是，即设，中点为等价于，得，得，得代入得得又，故k取值范围为 22解：（1）如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系 于是有则有，又则异面直线PC与AD所成角满足，所以异面直线PC与AD所成角的大小为（2）设点，点、点、点，则，则，化简整理得到，则曲线E是平面ABCD内的双曲线（3）在如图所示的xOy的坐标系中，因为、，设则有，故DC的方程为，代入双曲线E：的方程可得，其中因为直线DC与双曲线E交于点C，故进而可得，即故双曲线E在直角梯形ABCD内部包括边界的区域满足又设为双曲线CG上的动点，所以， 因为，所以当时，；当时，而要使圆B与AB、BC都有交点，则故满足题意的圆的半径取值范围是因为，所以体积为故问题可以转化为研究的面积又因为为直角，所以必为等腰直角三角形由前述，设，则，故其面积，所以于是，当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值 - 10 -
