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1、桂林市第十八中学14级高三适应性考试试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设复数满足（是虚数单位），则（ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意可得： .本题选择A选项.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为或，所以，应选答案D。3. 若抛物线上有一条过焦点且长为6的动弦，则的中点到轴的距离为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得： ，则的中点到轴的距离为 .本题选择A选项.点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注
2、意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式4. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201则下列叙述不正确的是（ ）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到
3、9日越来越小,D对.所以选C.5. 等比数列的前项和为，且，则（ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】 ，时,因为数列是等比数列,即,故选A.点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题目. 等比数列的判断方法有：(1)定义法：若(q为非零常数)或(q为非零常数且n2且n )，则是等比数列(2)中项公式法：在数列中，且 (n)，则数列是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(c，q均是不为0的常数，n)，则是等比数列6. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，则，则应选答案C。7. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体
4、积是（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】结合题意可知，三视图所对应的几何体是如图所示的四棱锥，其中，四棱锥的体积：.本题选择A选项.8. 若实数满足不等式，且的最大值为9，则实数（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】C【解析】解析：画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最大，即，也即，解之得，应选答案C。9. 下图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入分别为18，27，则输出的（ ）A. 0 B. 9 C. 18 D. 54【答案】B【解析】由，不满足，则，由
5、，则，则，输出的故选：B10. 正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线与所成的角，再运用解直角三角形的知识求出，从而使得问题巧妙获解。11. 已知双曲线的标准方程为，直线与双曲线交于不同的两点，若两点在以点为圆心的同一个圆上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设CD的中点为E，联立直线与双曲线的方程可得： ,由 可得
6、： 直线与双曲线有两个交点，则判别式： ，整理可得： ，解得 或 ，又 ，解得： ，综上可得实数的取值范围是.本题选择D选项.12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则对任意的，函数的零点个数至多有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个【答案】A【解析】当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增，,且,数是定义在上的奇函数，而时，,所以的图象如图，令,则，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没有根，而对任意，至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个.点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点
7、和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量的夹角为，且，则_【答案】3【解析】由题意可得： ，则： ，解得 .14. 已知函数，若，则_【答案】1【解析】由题意,函数f(x)=|lnx|，f(m)=f(n)，|lnm|=|lnn|mn0，lnm=lnn，即lnm+lnn=0，可得nm=1，则 .15. 设
8、，将函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是_【答案】【解析】试题分析：根据题意可知，设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则说明了周期为最大为，那么结合周期公式，故答案为考点：本试题考查了三角函数的图象的变换运用。点评：解决该试题的关键是理解图象重合，意味着解析式相同，则可知周期，然后结合周期公式求解w的值。属于中档题。16. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；设第次“扩展”后所得数列为，记，则数列的通项公式为_【答案】【解析】 .则 且
9、 ,据此可得数列 是首项为，公比为3的等比数列，则 .点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，点在边上，（）求；（）若的面积是，求【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得 ，则是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由 ，可得以，再结合余弦定理可得，
10、最后由正弦定理可得 ，即可得到的值试题解析：() 在中, 因为, 由余弦定理得, 所以, 整理得, 解得. 所以. 所以是等边三角形. 所以() 法1: 由于是的外角, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 在中, , 所以. 在中, 由正弦定理得, 所以. 法2: 作, 垂足为, 因为是边长为的等边三角形, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 所以. 在Rt中, , 所以, . 所以 . 18. 2017年某市街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私
11、有”等为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：年龄受访人数56159105支持发展共享单车人数 4512973（）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系：年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持不支持合计（）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望参考数据：0.400.250.150.100.050.0250.0100.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635
12、参考公式：，其中【答案】（1）不能（2）见解析【解析】（）根据所给数据得到如下列联表：年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持301040不支持5510合计351550根据列联表中的数据，得到的观测值为 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系（）由题意，年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车随机变量的所有可能取值为2，3，4，随机变量的分布列为234随机变量的数学期望19. 如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，为中点， （）是否存在实数使得平面？若存在，求出的值；若不
13、存在，请说明理由；（）在 （）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）当，即为中点时平面，（2）【解析】【试题分析】（1）运用线面平行的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式的运算及空间向量的数量积公式进行求解：解：（1）当，即为中点时平面，取中点，连 平面 平面所以，平面平面平面（2）取中点，连 平面， 以为轴， 轴，轴，建立直角坐标系，所以，设为平面的法向量，则 所以，直线与平面的正弦值为20. 已知椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为2（）求椭圆的标准方程；（） 过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（）由焦距为2可得，解方程得的值，即可得椭圆的标准方程；（）设直线的方程为，点，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，直线方程为，结合点在上，用，代替，化简整理直线方程为，令，整理得，得证.试题解析：（）椭圆的焦点在轴上，即，椭圆的焦距为2，且，解得，
