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1、桂林市第十八中学14级高三适应性考试试卷理科数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设复数满足(是虚数单位),则( )A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由题意可得: .本题选择A选项.2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为或,所以,应选答案D。3. 若抛物线上有一条过焦点且长为6的动弦,则的中点到轴的距离为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】A【解析】由抛物线的焦点弦公式可得: ,则的中点到轴的距离为 .本题选择A选项.点睛:有关直线与抛物线的弦长问题,要注
2、意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式4. 是表示空气质量的指数,指数值越小,表明空气质量越好,当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据,图中点表示4月1日的指数值为201则下列叙述不正确的是( )A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天的指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到
3、9日越来越小,D对.所以选C.5. 等比数列的前项和为,且,则( )A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】 ,时,因为数列是等比数列,即,故选A.点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题目. 等比数列的判断方法有:(1)定义法:若(q为非零常数)或(q为非零常数且n2且n ),则是等比数列(2)中项公式法:在数列中,且 (n),则数列是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成(c,q均是不为0的常数,n),则是等比数列6. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以,则,则应选答案C。7. 如图是某个几何体的三视图,则该几何体的体
4、积是( )A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】结合题意可知,三视图所对应的几何体是如图所示的四棱锥,其中,四棱锥的体积:.本题选择A选项.8. 若实数满足不等式,且的最大值为9,则实数( )A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】C【解析】解析:画出不等式组表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线经过点时,动直线在轴上的截距最大,即,也即,解之得,应选答案C。9. 下图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”,执行该程序框图时,若输入分别为18,27,则输出的( )A. 0 B. 9 C. 18 D. 54【答案】B【解析】由,不满足,则,由
5、,则,则,输出的故选:B10. 正四面体中,是棱的中点,是点在底面内的射影,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图,设正四面体的棱长是1,则,高,设点在底面内的射影是,则,所以即为所求异面直线所成角,则,应选答案B。点睛:解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义,先找出异面直线与所成的角,再运用解直角三角形的知识求出,从而使得问题巧妙获解。11. 已知双曲线的标准方程为,直线与双曲线交于不同的两点,若两点在以点为圆心的同一个圆上,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】设CD的中点为E,联立直线与双曲线的方程可得: ,由 可得
6、: 直线与双曲线有两个交点,则判别式: ,整理可得: ,解得 或 ,又 ,解得: ,综上可得实数的取值范围是.本题选择D选项.12. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,则对任意的,函数的零点个数至多有( )A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个【答案】A【解析】当时,由此可知在上单调递减,在上单调递增,,且,数是定义在上的奇函数,而时,,所以的图象如图,令,则,由图可知,当时方程至多3个根,当时方程没有根,而对任意,至多有一个根,从而函数的零点个数至多有3个.点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点
7、和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知向量的夹角为,且,则_【答案】3【解析】由题意可得: ,则: ,解得 .14. 已知函数,若,则_【答案】1【解析】由题意,函数f(x)=|lnx|,f(m)=f(n),|lnm|=|lnn|mn0,lnm=lnn,即lnm+lnn=0,可得nm=1,则 .15. 设
8、,将函数的图像向右平移个单位后与原图像重合,则的最小值是_【答案】【解析】试题分析:根据题意可知,设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合,则说明了周期为最大为,那么结合周期公式,故答案为考点:本试题考查了三角函数的图象的变换运用。点评:解决该试题的关键是理解图象重合,意味着解析式相同,则可知周期,然后结合周期公式求解w的值。属于中档题。16. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列1,2进行“扩展”,第一次得到数列1,2,2;第二次得到数列1,2,2,4,2;设第次“扩展”后所得数列为,记,则数列的通项公式为_【答案】【解析】 .则 且
9、 ,据此可得数列 是首项为,公比为3的等比数列,则 .点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 (本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 如图,在中,点在边上,()求;()若的面积是,求【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(I)根据余弦定理,求得 ,则是等边三角形.,故(II)由题意可得,又由 ,可得以,再结合余弦定理可得,
10、最后由正弦定理可得 ,即可得到的值试题解析:() 在中, 因为, 由余弦定理得, 所以, 整理得, 解得. 所以. 所以是等边三角形. 所以() 法1: 由于是的外角, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 在中, , 所以. 在中, 由正弦定理得, 所以. 法2: 作, 垂足为, 因为是边长为的等边三角形, 所以. 因为的面积是, 所以. 所以. 所以. 在Rt中, , 所以, . 所以 . 18. 2017年某市街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私
11、有”等为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表:年龄受访人数56159105支持发展共享单车人数 4512973()由以上统计数据填写下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系:年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持不支持合计()若对年龄在,的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中的4人中支持发展共享单车的人数为,求随机变量的分布列及数学期望参考数据:0.400.250.150.100.050.0250.0100.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635
12、参考公式:,其中【答案】(1)不能(2)见解析【解析】()根据所给数据得到如下列联表:年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持301040不支持5510合计351550根据列联表中的数据,得到的观测值为 不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系()由题意,年龄在的5个受访人中,有4人支持发展共享单车;年龄在的6个受访人中,有5人支持发展共享单车随机变量的所有可能取值为2,3,4,随机变量的分布列为234随机变量的数学期望19. 如图,在棱台中,与分别是棱长为1与2的正三角形,平面平面,四边形为直角梯形,为中点, ()是否存在实数使得平面?若存在,求出的值;若不
13、存在,请说明理由;()在 ()的条件下,求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)当,即为中点时平面,(2)【解析】【试题分析】(1)运用线面平行的判定定理进行分析推证;(2)建立空间直角坐标系,运用空间向量的坐标形式的运算及空间向量的数量积公式进行求解:解:(1)当,即为中点时平面,取中点,连 平面 平面所以,平面平面平面(2)取中点,连 平面, 以为轴, 轴,轴,建立直角坐标系,所以,设为平面的法向量,则 所以,直线与平面的正弦值为20. 已知椭圆的焦点在轴上,且椭圆的焦距为2()求椭圆的标准方程;() 过点的直线与椭圆交于两点,过作轴且与椭圆交于另一点,为椭圆的右焦点,求证:三点在同一条直线上【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:()由焦距为2可得,解方程得的值,即可得椭圆的标准方程;()设直线的方程为,点,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理可得,直线方程为,结合点在上,用,代替,化简整理直线方程为,令,整理得,得证.试题解析:()椭圆的焦点在轴上,即,椭圆的焦距为2,且,解得,