《高中数学1.1《变化率与导数》课件新人教A选修.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学1.1《变化率与导数》课件新人教A选修.ppt（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新课标人教版课件系列 高中数学 选修2 2 1 1 变化率与导数 教学目标 了解导数概念的实际背景 体会导数的思想及其内涵 了解函数的平均变化率 教学重点 函数的平均变化率 导数概念的实际背景 导数的思想及其内涵 一 变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度 变化率问题 微积分主要与四类问题的处理相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 变化率问题 问题
2、1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数 那么 我们来分析一下 当V从0增加到1时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 显然0 62 0 16 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何
3、用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 请计算 请计算 h t 4 9t2 6 5t 10 平均变化率定义 若设 x x2 x1 f f x2 f x1 则平均变化率为 这里 x看作是对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2同样 f y f x2 f x1 上述问题中的变化率可用式子表示 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O A B x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线AB的斜率 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1
4、x 2 y 则 y x A3B3 x x 2C3 x 2D3 x D 2 求y x2在x x0附近的平均速度 2x0 x 练习 2 物体按照s t 3t2 t 4的规律作直线运动 求在4s附近的平均变化率 A 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化率 练习 过曲线y f x x3上两点P 1 1 和Q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出当 x 0 1时割线的斜率 二 导数的概念 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5
5、t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 瞬时速度 在高台跳水运动中 平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态 又如何求瞬时速度呢 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 如何求 比如 t 2时的 瞬时速度 通过列表看出平均速度的变化趋势 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 瞬时速度 我们用表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋于确定值 13 1 那么 运动员在某一时刻t0的瞬时速度 局部以匀速代替变速 以平均速度代替瞬时速度 然后通过 取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值 导数的定义 从函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 问题 求函数y
6、 3x2在x 1处的导数 分析 先求 f y f x f 6 x x 2再求再求 应用 例1物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 分析 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 应用 例2将原油精练为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第x h 时 原油的温度 单位 0C 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2 h 和第6 h 时 原由温度的瞬时变化率 并
7、说明它们的意义 关键是求出 它说明在第2 h 附近 原油温度大约以30C h的速度下降 在第6 h 附近 原油温度大约以50C H的速度上升 应用 例3 质量为 kg的物体 按照s t 3t2 t 4的规律做直线运动 求运动开始后 s时物体的瞬时速度 求运动开始后 s时物体的动能 小结 1求物体运动的瞬时速度 1 求位移增量 s s t t s t 2 求平均速度 3 求极限 1由导数的定义可得求导数的一般步骤 1 求函数的增量 y f x0 t f x0 2 求平均变化率 3 求极限 练习 1 求函数y 在x 1处的导数 2 求函数y 的导数 三 导数的几何意义 平均变化率 函数y f x
8、的定义域为D x1 x2 D f x 从x1到x2平均变化率为 割线的斜率 以平均速度代替瞬时速度 然后通过取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 从函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或y x x0即 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 回顾 应用 例1将原油精练为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行
9、冷却和加热 如果第x h 时 原油的温度 单位 0C 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2 h 和第6 h 时 原由温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 关键是求出 它说明在第2 h 附近 原油温度大约以30C h的速度下降 在第6 h 附近 原油温度大约以50C H的速度上升 P Q 割线 切线 T 导数的几何意义 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ如果有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本
10、质 函数在x x0处的导数 要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出P点的坐标 利用切线斜率的定义求出切线的斜率 利用点斜式求切线方程 练习 如图已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 即点P处的切线的斜率等于4 2 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 在不致发生混
11、淆时 导函数也简称导数 函数导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 如何求函数y f x 的导数 看一个例子 下面把前面知识小结 a 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念 要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质 学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态 b 要切实掌握求导数的三个步骤 1 求函数的增量 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 3 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 小结 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 c 弄清 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 之间的区别与联系 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 求切线方程的步骤 小结 无限逼近的极限思想是建立导数概念 用导数定义求函数的导数的基本思想 丢掉极限思想就无法理解导数概念 再见
