《高三数学理总复习系列课件：2.2函数的单调性及最大小值苏教.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学理总复习系列课件：2.2函数的单调性及最大小值苏教.ppt（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、要点梳理1 函数的单调性 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为A 如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在 上是单调增函数 若 则f x 在 上是单调减函数 2 2函数的单调性及最大 小 值 基础知识自主学习 f x1 f x2 区间I f x1 f x2 区间I 2 单调区间的定义若函数f x 在区间I上是 或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 2 函数的最值 1 设函数y f x 的定义域为A 如果存在实数M 满足 对于任意的x A 都有 存在x0 A 使得 则称M是f x 的最大值 2 设
2、函数y f x 的定义域为A 如果存在实数M 满足 对于任意的x A 都有 存在x0 A 使得 则称M是f x 的最小值 增函数 减函数 区间I f x M f x0 M f x M f x0 M 3 判断函数单调性的方法 1 定义法 利用定义严格判断 2 利用函数的运算性质 如若f x g x 为增函数 则 f x g x 为增函数 为减函数 f x 0 为增函数 f x 0 f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 f x 为减函数 3 利用复合函数关系判断单调性 法则是 即两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为 4
3、 图象法 5 奇函数在两个对称的区间上具有 的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有 的单调性 6 导数法 若f x 在某个区间内可导 当f x 0时 f x 为 函数 当f x 0时 f x 为 函数 若f x 在某个区间内可导 当f x 在该区间上递增时 则f x 0 当f x 在该区间上递减时 则f x 0 同增异减 增函数 减函数 相同 相反 增 减 基础自测1 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 y x 1 y y x2 4x 5 解析y x 1在R上递减 y 在R 上递增 y x2 4x 5在 2 上递减 在 2 上递增 在R 上递减 2 2010 镇江调研 若函数f x x
4、2 a2 4a 1 x 2在区间 1 上是减函数 则a的取值范围是 解析 f x 是二次函数且开口向上 要使f x 在 1 上是单调递减函数 则必有 1 即a2 4a 3 0 解得1 a 3 1 3 3 函数y 1 的增区间为 解析函数图象如图所示 1 和 1 4 已知函数f x x2 2x 3在闭区间 0 m 上最大值为3 最小值为2 则m的取值范围为 解析 f x x 1 2 2 其对称轴为x 1 当x 1时 f x min 2 故m 1 又 f 0 3 f 2 3 m 2 综上 1 m 2 1 2 例1 已知函数证明 函数f x 在 1 上为增函数 1 用函数单调性的定义 2 用导数法
5、证明方法一任取x1 x2 1 不妨设x10 典型例题深度剖析 分析 又 x1 1 0 x2 1 0 于是f x2 f x1 故函数f x 在 1 上为增函数 方法二求导数得 a 1 当x 1时 axlna 0 f x 0在 1 上恒成立 则f x 在 1 上为增函数 方法三 a 1 y ax为增函数 又在 1 上也是增函数 在 1 上为增函数 跟踪练习1 2010 淮安模拟 证明 f x x2 2x在区间 1 上是增函数 证明方法一设x1 x2是区间 1 上的任意两个值 且x1x1 x2 x1 0 又 x1 x2 1 x2 x1 1 即有x1 x2 2 x1 x2 2 0 f x2 f x1
6、0 即有f x2 f x1 故f x x2 2x在 1 上是增函数 方法二利用导数f x 2x 2 2 x 1 x 1 f x 0 f x 在 1 上为增函数 例2 求函数f x loga 2x2 5x 3 的单调区间 将函数看作y logau u 2x2 5x 3两函数的复合函数 利用复合函数的单调性去求 注意对底数a分类讨论 解由2x2 5x 3 0 解得x 函数的定义域是 x x 令u x 2x2 5x 3 由二次函数的图象可知u x 在 1 上是减函数 在 上是增函数 分析 又当a 1时 f u logau是增函数 当01时 f x loga 2x2 5x 3 的单调递增区间是 单调递
7、减区间是 1 当0 a 1时 f x loga 2x2 5x 3 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 跟踪练习2求函数的单调区间 解 f x 的定义域为R 令u x x2 2x 3 x 1 2 4 故二次函数的对称轴为x 1 u x 的单调增区间是 1 单调减区间是 1 外层函数f u eu是增函数 由复合函数的单调性可知 的单调增区间是 1 单调减区间是 1 例3 2010 宿迁模拟 求下列函数的值域 1 2 观察所给函数解析式的结构特征 联想类比求函数值域的各种基本方法 以确定求函数值域的最优方法 解 1 方法一重要不等式法当x 1时 x 1 0 由基本不等式得 分析 当且仅当 即x 0
8、时 有y 1 当x 1时 x 1 0 那么 y 3 当且仅当即x 2时 有y 3 综上可知 函数的值域是 3 1 方法二判别式法由 得x2 1 y x 1 y 0 x R且x 1 1 y 2 4 1 y 0 解不等式得y 3或y 1 从而得函数的值域是 3 1 2 方法一换元法 即函数的值域为 方法二单调性法易证得函数在其定义域 内单调递增 故函数的值域为 跟踪练习3已知函数y 的定义域为R 1 求实数m的取值范围 2 当m变化时 若y的最小值为f m 求函数f m 的值域 解 1 当m 0时 x R 当m 0时 m 0且 0 解得0 m 1 故实数m的取值范围为0 m 1 2 当m 0时 f
9、 m f 0 当0 m 1时 因y 故f m 0 m 1 0 f m 综上f m 0 m 1 其值域为 0 例4 14分 函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 0 f x2 x1 1 分析 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是R上的增函数 8分 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f
10、 x 是R上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 故解集为 14分 跟踪练习4如果函数f x 的定义域为 x x 0 且f x 为增函数 f x y f x f y 1 求证 f x f y 2 已知f 3 1 且f a f a 1 2 求a的取值范围 1 证明 2 解 f 3 1 f a f a 1 2 f a f a 1 2 f 2 f 3 f 3 f 9 f x 是增函数 9 10 a 1 0 a的取值范围是1 a 高考中主要考查求函数的单调区间及单调性的应用 如应用单调性求值域 比较大小 解不等式等 以上知识点常以填空题的形式出现 但近几年高考常以导数为工具 研究函数的单调性问题
11、在大题中是必考内容 思想方法感悟提高 高考动态展望 1 根据函数的单调性的定义 证明 判定 函数f x 在其区间上的单调性 其步骤是 1 设x1 x2是该区间上的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 然后变形 3 判定f x1 f x2 的符号 4 根据定义作出结论 2 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域 函数的增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 方法规律总结 3 重要性质 1 注意函数y f x 与y kf x 的单调性与k k 0 的相关性 2 注意函数y
12、f x 与y 的单调性间的关系 3 定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式 4 在掌握定义 判定函数f x 在其区间上单调的基本方法的同时 引导学生考虑用导数的性质 培养发散性思维 克服思维定势 一 填空题1 2010 江苏盐城一模 函数f x ln 4 3x x2 的单调递减区间是 解析函数f x 的定义域是 1 4 令u x x2 3x 4的减区间为 e 1 函数f x 的单调减区间为 定时检测 2 2009 湖南改编 设函数y f x 在 内有定义 对于给定的正数K 定义函数fK x 取函数f x 2 x 当K 时 函数fK x 的单调递增区间为 解
13、析由f x 2 x 得 x 1 x 1 x 1或x 1 fK x 当x 1 时 fK x 2 x 在 1 上为减函数 当x 1 时 fK x 2x 在 1 上为增函数 1 3 2009 江苏扬州模拟 已知f x 是R上的减函数 则满足f f 1 的x的取值范围为 解析 0 1 4 2010 徐州调研 若f x 在 0 上是减函数 则f a2 a 1 与f 的大小关系是 解析 5 2010 山东临沂模拟 若f x x2 2ax与g x 在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 解析由f x x2 2ax得对称轴为x a 在 1 2 上是减函数 所以a 1 又由g x 在 1 2 上是减函数
14、 所以a 0 综合得a的取值范围为 0 1 0 1 6 2009 山东烟台调研 关于下列命题 若函数y 2x的定义域是 x x 0 则它的值域是 y y 1 若函数y 的定义域是 x x 2 则它的值域是 y y 若函数y x2的值域是 y 0 y 4 则它的定义域一定是 x 2 x 2 若函数y log2x的值域是 y y 3 则它的定义域是 x 0 x 8 其中不正确的命题的序号是 注 把你认为不正确的命题的序号都填上 解析 中 x 0 y 2x 0 1 中 x 2 y 0 中 y x2的值域是 y 0 y 4 但它的定义域不一定是 x 2 x 2 中 y log2x 3 0 x 8 故
15、错 正确 答案 7 2010 惠州一模 已知y f x 是定义在 2 2 上的增函数 若f m 1 f 1 2m 则m的取值范围是 解析依题意 原不等式等价于 8 2009 福建厦门适应性考试 若函数f x m 1 x2 mx 3 x R 是偶函数 则f x 的单调减区间是 解析 f x 是偶函数 f x f x m 1 x2 mx 3 m 1 x2 mx 3 m 0 这时f x x2 3 单调减区间为 0 0 9 2010 湛江调研 若函数y x2 3x 4的定义域为 0 m 值域为 4 则m的取值范围是 解析 二 解答题10 2010 无锡模拟 已知f x 在定义域 0 上为增函数 且满足
16、f xy f x f y f 3 1 试解不等式f x f x 8 2 解根据题意 由f 3 1 得f 9 f 3 f 3 2 又f x f x 8 f x x 8 故f x x 8 f 9 f x 在定义域 0 上为增函数 原不等式的解集为 x 8 x 9 11 2010 镇江模拟 已知f x x a 1 若a 2 试证f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 1 证明任设x10 x1 x2 0 f x1 f x2 0即f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 解任设10 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 a 1 综上所述知0 a 1 12 2010 无锡调研 函数f x 对任意的实数m n有f m n f m f n 且当x 0时有f x 0 1 求证 f x 在 上为增函数 2 若f 1 1 解不等式f log2 x2 x 2 x1 则x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 0 f x2 f x1 故f
