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1、要点梳理1 对数的概念 1 对数的定义如果ax N a 0且a 1 那么数x叫做以a为底N的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 a N 对数与对数函数 x logaN 基础知识自主学习 2 几种常见对数2 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 logaaN a 0且a 1 e lnN lgN logaN 10 N N 2 对数的重要公式 换底公式 a b均大于零且不等于1 推广logab logbc logcd 3 对数的运算法则如果a 0且a 1 M 0 N 0 那么 loga MN logad logaM logaN logaM logaN logaMn n R 3 对数函数的图象
2、与性质 nlogaM R 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 1 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax与对数函数 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 基础自测1 2009 湖南理 若log2a1 b 0B a 1 b0D 0 a 1 b 0解析 log2a 0 log21 0 a 1 b 0 D 2 已知log7 log3 log2x 0 那么等于 A B C D 解析由条件知log3 log2x 1 log2x 3 x 8 C 3 若a 0 32 b log20 3 c 20 3 则a b c的大小关系是 A a b cB a c bC b c a
3、D b a c解析a 0 32 0 1 b log20 3 0 c 20 3 1 b a c D 4 设a 1 函数f x logax在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差为则a等于 A B 2C D 4解析根据已知条件loga 2a logaa 整理得 loga2 则即a 4 D 5 函数的定义域是 解析要使有意义需使 0 3x 2 1 即 x 1 的定义域为 题型一对数的化简与求值 例1 1 化简 2 化简 3 已知loga2 m loga3 n 求a2m n的值 1 2 为化简题目 可由原式联想指数与对数的运算法则 公式的结构形式来寻找解题思路 3 可先求出2m n的值 再用公式来求a
4、2m n的值 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 原式 2 3 方法一 loga2 m am 2 loga3 n an 3 故a2m n am 2 an 4 3 12 方法二 loga2 m loga3 n 1 在对数运算中 先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后再运用对数运算法则化简合并 在运算中要注意化同底和指数与对数互化 2 熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算 化简 证明常用的技巧 探究提高 知能迁移1 1 化简 log43 log83 log32 log92 解析 2 已知3a 5b A 且则A的值是 A 15B C D
5、 225解析 3a 5b A a log3A b log5A logA3 logA5 logA15 2 A2 15 A 或A 舍 B 题型二比较大小 例2 2009 全国 理 7 设a log2 则 A a b cB a c bC b a cD b c a 1 引入中间量如 1 或 比较 2 利用对数函数的图象及单调性 解析 a log2 1 a b a c b c a b c 思维启迪 A 探究提高比较对数式的大小 或证明等式问题是对数中常见题型 解决此类问题的方法很多 当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较 若底数不同 真数相同 可转化为同底 利用换底公式 或利用对数函数图象 数形结合
6、解得 若不同底 不同真数 则可利用中间量进行比较 知能迁移2比较下列各组数的大小 1 2 log1 10 7与log1 20 7 3 已知比较2b 2a 2c的大小关系 解 1 log51 0 2 方法一 0log0 71 1 log0 71 2 即由换底公式可得log1 10 7a c 而y 2x是增函数 2b 2a 2c 题型三对数函数的性质 例3 12分 已知函数f x logax a 0 a 1 如果对于任意x 3 都有 f x 1成立 试求a的取值范围 当x 3 时 必有 f x 1成立 可以理解为函数 f x 在区间 3 上的最小值不小于1 解当a 1时 对于任意x 3 都有f x
7、 0 所以 f x f x 而f x logax在 3 上为增函数 对于任意x 3 有f x loga3 4分 思维启迪 因此 要使 f x 1对于任意x 3 都成立 只要loga3 1 logaa即可 1 a 3 6分当0 a 1时 对于x 3 有f x 0 f x f x 8分 f x logax在 3 上为减函数 f x 在 3 上为增函数 对于任意x 3 都有 f x f x loga3 10分因此 要使 f x 1对于任意x 3 都成立 只要 loga3 1成立即可 综上 使 f x 1对任意x 3 都成立的a的取值范围是 1 3 1 12分本题属于函数恒成立问题 即在x 3 时 函
8、数f x 的绝对值恒大于等于1 恒成立问题一般有两种思路 一是利用图象转化为最值问题 二是利用单调性转化为最值问题 这里函数的底数为字母a 因此需对参数a分类讨论 探究提高 知能迁移3 1 设f x 是奇函数 则使f x 0的x的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 0 D 0 1 解析 f x 为奇函数 f 0 0 解之 得a 1 f x 令f x 0 则 x 1 0 A 2 已知f x loga 3 a x a 是其定义域上的增函数 那么a的取值范围是 A 0 1 B 1 3 C 0 1 1 3 D 3 解析记u 3 a x a 当13时 y logau在其定义域内为增函数 而u 3 a
9、 x a在其定义域内为减函数 此时f x 在其定义域内为减函数 不符合要求 当0 a 1时 同理可知f x 在其定义域内是减函数 不符合题意 故选B 答案B 题型四对数函数的综合应用 例4 已知过原点O的一条直线与函数y log8x的图象交于A B两点 分别过A B作y轴的平行线与函数y log2x的图象交于C D两点 1 证明 点C D和原点O在同一直线上 2 当BC平行于x轴时 求点A的坐标 1 证明三点在同一条直线上只需证明kOC kOD 2 解方程组得x1 x2 代入解析式即可求解 思维启迪 1 证明设点A B的横坐标分别为x1 x2 由题设知x1 1 x2 1 则点A B的纵坐标分别
10、为log8x1 log8x2 因为A B在过点O的直线上 所以点C D的坐标分别为 x1 log2x1 x2 log2x2 由于log2x1 3log8x1 log2x2 3log8x2 OC的斜率为k1 OD的斜率为k2 由此可知k1 k2 即O C D在同一直线上 2 解由于BC平行于x轴 知log2x1 log8x2 即得代入x2log8x1 x1log8x2 得由于x1 1 知log8x1 0 故又因x1 1 解得x1 于是点A的坐标为利用函数图象和解析几何的思想方法 突出了本题的直观性 将对数的运算融于几何问题 体现了数形结合的思想 探究提高 知能迁移4已知函数是奇函数 a 0 a
11、1 1 求m的值 2 判断f x 在区间 1 上的单调性并加以证明 解 1 f x 是奇函数 f x f x 在其定义域内恒成立 1 m2x2 1 x2恒成立 m 1或m 1 舍去 m 1 2 由 1 得 a 0 a 1 任取x1 x2 1 设x11 x2 1 x10 x2 1 0 x2 x1 0 t x1 t x2 即 当a 1时 f x 在 1 上是减函数 当0 a 1时 f x 在 1 上是增函数 1 指数式ab N与对数式logaN b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键 2 在运算性质logaMn nlogaM时 要特别注意条件 在无M 0的条件下应为logaMn nlog
12、a M n N 且n为偶数 3 注意对数恒等式 对数换底公式及等式在解题中的灵活应用 方法与技巧 思想方法感悟提高 4 指数函数y ax与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 要能从概念 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 1 指数运算的实质是指数式的积 商 幂的运算 对于指数式的和 差应充分运用恒等变形和乘法公式 对数运算的实质是把积 商 幂的对数转化为对数的和 差 积 失误与防范 2 指数函数y ax a 0 且a 1 与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 应从概念 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 3 明确函数图象的位置和形状要通过研究
13、函数的性质 要记忆函数的性质可借助于函数的图象 因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象 一 选择题1 2009 湖南文 1 的值为 A B C D 解析 D 定时检测 2 2009 广东文 4 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 且f 2 1 则f x A B 2x 2C D log2x解析函数y ax a 0 且a 1 的反函数是f x logax 又f 2 1 即loga2 1 所以a 2 故f x log2x 故选D D 3 2009 辽宁文 6 已知函数f x 满足 当x 4时 当x4 故f 3 log23 A 4 已知02解析m
14、 logaxy 0logaa2 2 D 5 函数y f x 的图象如右图所示 则函数y 的图象大致是 解析由y f x 的图象可知 y f x 在 0 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 根据复合函数的单调性法则可知 在 0 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 故选C 答案C 6 函数y loga x b a 0 a 1 ab 1 的图象只可能是 解析由a 0 ab 1可知b 0 又y loga x b 的图象关于x b对称 由图象可知b 1 且0 a 1 由单调性可知 B正确 B 二 填空题7 2009 江苏 11 已知集合A x log2x 2 B a 若A B 则实数a的取值范围
15、是 c 其中c 解析 log2x 2 04 c 4 8 计算log525 解析原式 4 1 log552 4 2 2 4 2 9 已知0n m n 三 解答题10 将下列各数按从大到小的顺序排列 log89 log79 解在同一坐标系内作出y log8x y log7x y log2x的图象如图所示 当x 9时 由图象知log29 log79 log89 1 log88 log229 log79 log89 1 即 log79 log89 1 在R上是减函数 11 若函数y lg 3 4x x2 的定义域为M 当x M时 求f x 2x 2 3 4x的最值及相应的x的值 解y lg 3 4x
16、x2 3 4x x2 0 解得x3 M x x3 f x 2x 2 3 4x 4 2x 3 2x 2 令2x t x3 t 8或08或0 t 2 由二次函数性质可知 当08时 f x 160 当2x t 即综上可知 当时 f x 取到最大值为无最小值 12 已知函数f x 3x f a 2 18 g x 3ax 4x的定义域为 0 1 1 求a的值 2 若函数g x 在区间 0 1 上是单调递减函数 求实数的取值范围 解方法一 1 由已知得3a 2 18 3a 2 a log32 2 由 1 得g x 2x 4x 设0 x1 x2 1 因为g x 在区间 0 1 上是单调减函数 所以g x1 g x2 恒成立 即恒成立 由于所以 实数的取值范围是 方法二 1 由已知得3a 2 18 3a 2 a log32 2 由 1 得g x 2x 4x 因为g x 在区间 0 1 上是单调减函数 所以有g x ln2 2x ln4 4x ln2 2 2x 2 2x 0成立 设2x u 1 2 上式成立等价于 2u2 u 0恒成立 因为u 1 2 只需 2u恒成立 所以实数的取值范围是
