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1、福建省厦门双十中学2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算出集合、，再取交集即可。【详解】解：，.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。2.已知为虚数单位，若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，解得或，据此可知或，结合共轭复数的特征确定的值即可.【详解】由可得，解得或，所以或，因为在复平面内对应的点位于第三象限，所以本题选择A选项.【点睛】本题主要考查
2、复数的运算，共轭复数的定义，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为A. 分B. 分C. 分D. 分【答案】B【解析】分析】首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.【详解】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度
3、差为分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分，解得，“立春”时日影长度为：分故选B【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解4.已知角的终边经过点，则（ ）A. 3B. C. D. -3【答案】D【解析】【分析】终边经过点即可知道，将分子分母同除,再代入即可。【详解】解：因为角的终边经过点，所以，则.故选D【点睛】本题考查分式同角三角函数的运算，属于基础题。5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为在上单调递增，,知道，再由，即可得的出答案。【详解】解：因为在上单调递增，,所以，而，
4、故选：C.【点睛】本题考查利用正弦函数单调性判断大小，属于基础题。6.已知数列满足，则（ ）A. 2B. C. D. -3【答案】B【解析】分析】写出数列的前5项，即可得出数列是以4为周期的数列，。【详解】解：因为，所以由已知可得，.可以判断出数列是以4为周期的数列，故.故选B【点睛】本题考查周期数列，属于基础题。7.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数，然后通过构造函数，可判断是单调递增函数，从而可得到时，即可判断时，从而可确定在上单调递增，即可得到答案。【详解】因为，所以为偶函数，选项B错误，令，则恒成立，所以是单调递增函数，则当时，故
5、时，,即在上单调递增，故只有选项A正确。【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题。8.在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点分别作，交点分别为，,，根据比例全部换成与，即可得出答案。【详解】解：过点分别作，交点分别为，因为 所以， 所以，故，故选D.【点睛】本题考查平面向量基本定理，属于中等题.9.在ABC中，已知向量与满足，且，则ABC为（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 三边均不相等的三角形【答案】A【解析】【详解】解:,的角平分线与BC垂直,三角形为等边三角形,故选A10.如图所示，过抛物线的焦
6、点F的直线l，交抛物线于点A,B交其准线l于点C，若,且，则此抛物线的方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别过A,B作准线的垂线，利用抛物线的定义将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知的比例关系，在直角三角形中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程.【详解】如图，过A作垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的交点，由抛物线的定义，因为，所以，所以，所以，即，所以抛物线的方程为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，应用定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线
7、的距离来解决，属于常规问题.11.已知等差数列的前项和为，且，则的值最大时对应的为（ ）A. 1B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】利用，计算出，代入得，再根据函数在上单调递增，在上单调递增，以及和时的符号，即可得出答案为.【详解】解：依题意可设，又，所以，所以，所以，对应函数在上单调递增，在上单调递增，中心为，当且时，且数列单调递增；当且时，且数列单调递增.因此，当时，取最大值，故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n项和基本量计算以及函数的单调性，属于中档题.12.已知函数（且），若存在实数，（），使得解集恰好为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
8、分析】讨论的取值，说明的单调性，根据的解集恰好为解出的取值范围。【详解】解：当时，则不存在的解集恰为，当时，此时函数单调递增，则不存在的解集恰为，当时，由得，当时，不等式等价为，设，则，当时，当时，即当时，取得极大值，同时也是最大值，若存在实数，使得的解集恰为，则必有，即.【点睛】本题考查函数的单调性，属于难题。二、填空题.13.已知向量与的夹角为，则_【答案】1【解析】【分析】对两边平方，根据向量的运算，解出即可。【详解】解：根据题意，设，向量与的夹角为，则，又由，则，变形可得：，解可得或1，又由，则；故填1.【点睛】本题考查平面向量的基本运算，属于基础题。14.已知数列是递增的等比数列，则
9、数列的前项和等于 .【答案】【解析】【详解】由题意，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.15.已知为等差数列的前项和，三点在直线上，且点O不在上，若，则_【答案】100【解析】【分析】根据，三点共线与知，再代入即可。【详解】解：，依题意可知，所以，所以.故填100.【点睛】本题考查三点共线的向量表示、等差数列的前n项和，属于基础题。16.已知四边形，满足，则_【答案】【解析】【分析】取中点，用与表示即可得出答案。【详解】解1：取中点，解2：将图形特殊化，则，（的横坐标任意取）.故填.【点睛】本题考查两
10、向量的数量积，属于中等题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列an满足a11，anan12anan10(nN*，n1)(1)求证：数列是等差数列并求数列an的通项公式；(2)设bnanan1，求证：b1b2bn.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】【详解】(1)anan12anan10，两边同除以anan1得2.则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，于是2n1，an(nN*)(2)由(1)知bn，则b1b2bn(1)(1).18.在直面坐标系中，点，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，曲线：（，）.（）求与两个交点，的极坐标；（），
11、中点为，直线与相交于，两点，求.【答案】（）；（）5【解析】【分析】（）联立方程、，解出即可。（）根据，的极坐标求出，再换算成直角坐标，求出AM的斜率，再写出AM的参数方程，代入,根据参数的集合意义，求出的值。【详解】解：（），所以，或，当得所以，当得（舍去），又极点既在，又在上，所以；（）为，中点，所以，所以在直角坐标系中，所以倾斜角为，设直线的参数方程为（为参数），代入：得，所以.【点睛】本题考查极坐标与参数方程，属于中档题。19.已知曲线：和：，：（），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立板坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.（）若与，交于，求，两点间的距离.（）若曲线上的点到曲线的
12、距离等于，求的坐标；【答案】（）1；（）或或.【解析】【分析】（）将化为极坐标方程，再将：代入，分别求出，两点的极坐标，即可得出答案。（）将化为直角坐标方程，设，利用点到直线的距离公式求出即可。【详解】（）设、两点的极坐标分别为、，将：普通方程为化为极坐标为所以：，把代入得，把代入得，即，两点间的距离为；（）设，将曲线的方程化为普通方程得，由，或.，所以，则，所以；，所以，所以或.综上所述，点的坐标为、.【点睛】本题考查极坐标与参数方程、点到直线的距离，属于中档题。20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金70
13、00元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【答案】（）见解析；（）选择延保方案二较合算【解析】【分析】（）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案。【详解】解：（）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，的分布列为 0123456 （）选择延保一，所需费用元的分布列为： 700090001100013000
