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1、南宁三中2018届高三第二次模拟考试数学试题(理科)全卷满分150分 考试用时120分钟 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合,则( )A. B. C. D. 2已知复数(是虚数单位),则( )A. B. C. D. 3甲、乙两人答竞赛题,甲答对的概率为,乙答对的概率为,则两人中恰有一人答对的概率为( )A.B.C.D. 4设等差数列的前项和为,若,则( )A. B. C. D. 5如图所示的流程图,最后输出的的值为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 66的展开式中的系数为( )A. B. 84 C. D. 280
2、7若抛物线在处的切线的倾斜角为,则( )A.B.C.D. 8一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为( )A.B.C.D. 9已知函数,且在区间上有最小值,无最大值,则的值为( )A.B.C.D. 10已知双曲线,若正方形四个顶点在双曲线T上,且的中点为双曲线T的两个焦点,则双曲线T的离心率为( )A. B. C. D. 11如图,在正方形中,分别是的中点,若,则的值为( )A. B. C.1D. -112已知命题若命题是假命题,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知向量与的夹角为,且,则_.14若实数,满足约束条件
3、,则的最小值为_15已知长轴长为,短轴长为的椭圆的面积为,则=_。16如图,的二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,则_. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17(本题满分12分)已知数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18(本题满分12分)某校高一200名学生的期中考试物理成绩服从正态分布,化学成绩的频率分布直方图如下:(I)如果成绩大于85分的学生为优秀,这200名学生中本次考试物理、化学优秀的人数大约各多少
4、人?(II)如果物理和化学两科都优秀的共有4人,从(I)中的这些同学中随机抽取3人,设三人中两科都优秀的有人,求的分布列和数学期望附:若,则,19(本题满分12分)如图,三棱锥的三条侧棱两两垂直,分别是棱的中点.(1)证明:平面平面;(2)求锐二面角的余弦值.20.(本题满分12分)已知椭圆的一个焦点为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆交于,两点,求(为坐标原点)的面积取最大值时直线的方程. 21(本题满分12分)已知(1)若在0,1上单调递增,求实数的取值范围;(2)若,试分析的根的个数.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分22(本题满分
5、10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程;(2)设直线与曲线相交于两点,求的值23(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最小值为3.(1)求的值;(2)求证:.5南宁三中2018届高三第二次模拟考试数学试题(理科)参考答案1B【解析】因为,,所以,故选B.2C【解析】由题意,所以,故选C.3A【解析】第一种:甲答对,乙答错,此时概率为;第二种:甲答错,乙答对,此时的概率为.综上,两人中恰有一人答对的概率为.故选A.4A【解析】由题意15,故选A5C【解析
6、】执行程序有:n=1,n=n+1=2,此时,2n=4,n2=4,故有n=n+1=3,此时2n=8,n2=9,故有n=n+1=4,此时2n=16,n2=16,故有n=n+1=5,此时2n=32,n2=25,即满足2nn2故输出n的值5故选:C6C【解析】由题意,根据二项式定理展开式的通项公式,得展开式的通项为,则展开式的通项为,由,得,所以所求的系数为.故选C.7A【解析】因为,所以,则该切线的斜率,则.故选A8B【解析】根据几何体的三视图,可知该几何体是底面是正方形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥,即这五个点都是棱长为的正方体的顶点,所以该几何体的外接球就是对应正方体的外接球,所以外接球的直径是正
7、方体的对角线为,所以半径,从而求的球的体积为,故选B.9D【解析】,且,在区间上有最小值,无最大值,直线为的一条对称轴,又0,当时,=.易知当时,此时在区间内已存在最大值.故选D.10C【解析】由题可得:点,所以正方形的边长为,又焦距为2c也是正方形的边长,所以,11A【解析】设正方形的边长为2,以点为原点,分别为轴,建立平面直角坐标系,所以,所以,解得,所以,故选A.12A131【解析】,向量与的夹角为,0,解得,故答案为.142【解析】作出可行域如图所示,设,则表示可行域内的点与原点的距离的平方由图知,所以故答案为:2.15【解析】设,则对应的曲线为椭圆的上半部分,对应的面积,根据积分的运
8、算法则可得,故答案为.16【解析】由已知,即=0,=0,=45,CD=。17【解析】(1)当时,解得,所以,当时,当时,所以,(2)由(1)得,所以,两式相减得,即,整理得.18【解析】(I)物理成绩优秀的概率为,化学成绩优秀的概率为,物理成绩优秀人数为人,化学成绩优秀人数为人(II)物理化学两科都优秀的4人,单科优秀的有6人,所有可能的取值为0,1,2,3,的分布列为数学期望19【解析】(1)证明:因为,是棱的中点,所以又三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,所以平面,又平面,则因为,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)由于三棱锥的三条侧棱两两垂直,故可以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
9、则,故,设平面的法向量为,则,即,令,得,由(1)知平面的一个法向量为,所以.所以锐二面角的余弦值为.20.(1)依题意得解得椭圆的方程为. (2)由消去整理得,其中设,则,又原点到直线的距离.,令,则,当时,取得最大值,且,此时,即.直线的方程为的面积取最大值时直线的方程为.21【解析】(1)由于在上递增得在上恒成立即在上恒成立令,则故在上递减,于是,故有(2)上递增,又,故唯一,使得上递减,在上递增. .令则上递减 .当时,由递减知故即从而有上恒成立. 故时,无实根.22【解析】(1)将方程消去参数得,曲线的普通方程为,将代入上式可得,曲线的极坐标方程为:(2)设两点的极坐标方程分别为,由消去得,根据题意可得是方程的两根,23【解析】(1)所以,即(2)由,则原式等价为:,即,而,当且仅当,即时,“=”成立,故原不等式成立。