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1、函数的单调性与最大 小 值 要点梳理1 函数的单调性 1 单调函数的定义 基础知识自主学习 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是 或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 增函数 减函数 区间D 2 函数的最值 f x M f x0 M f x M f x0 M 基础自测1 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 A y x 1B y C y x2 4x 5D 解析 y x 1 y x2 4x 5 分别为一次函数 二次函数 反比例函数 从它们的图象上可以看出在 0 2 上都是减函数 B 2
2、已知函数y f x 是定义在R上的增函数 则f x 0的根 A 有且只有一个B 有2个C 至多有一个D 以上均不对解析 f x 在R上是增函数 对任意x1 x2 R 若x1 x2 则f x1 f x2 反之亦成立 故若存在f x0 0 则x0只有一个 若对任意x R都无f x 0 则f x 0无根 C 3 已知f x 为R上的减函数 则满足的实数x的取值范围是 A 1 1 B 0 1 C 1 0 0 1 D 1 1 解析由已知条件 不等式等价于解得 1 x 1 且x 0 C 4 函数y 2k 1 x b在 上是减函数 则 A B C D 解析使y 2k 1 x b在 上是减函数 则2k 1 0
3、 即 D 5 设x1 x2为y f x 的定义域内的任意两个变量 有以下几个命题 x1 x2 f x1 f x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 其中能推出函数y f x 为增函数的命题为 解析依据增函数的定义可知 对于 当自变量增大时 相对应的函数值也增大 所以 可推出函数y f x 为增函数 题型一函数单调性的判断 例1 已知函数证明 函数f x 在 1 上为增函数 1 用函数单调性的定义 2 用导数法 证明方法一任取x1 x2 1 不妨设x10 思维启迪 题型分类深度剖析 又 x1 1 0 x2 1 0 于是f x2 f x1 故函数f x 在 1 上为增函数 方法二求导数得 a
4、 1 当x 1时 axlna 0 f x 0在 1 上恒成立 则f x 在 1 上为增函数 对于给出具体解析式的函数 判断或证明其在某区间上的单调性问题 可以结合定义 基本步骤为取点 作差或作商 变形 判断 求解 可导函数则可以利用导数解之 探究提高 知能迁移1试讨论函数x 1 1 的单调性 其中a 0 解方法一根据单调性的定义求解 设 10 即 10 因此 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数f x 为增函数 方法二 当a 0时 10时 f x 在 1 1 上为减函数 a 0时 f x
5、在 1 1 上为增函数 题型二复合函数的单调性 例2 已知函数f x log2 x2 2x 3 则使f x 为减函数的区间是 A 3 6 B 1 0 C 1 2 D 3 1 先求得函数的定义域 然后再结合二次函数 对数函数的单调性进行考虑 解析由x2 2x 3 0 得x3 结合二次函数的对称轴直线x 1知 在对称轴左边函数y x2 2x 3是减函数 所以在区间 1 上是减函数 由此可得D项符合 故选D 思维启迪 D 1 复合函数是指由若干个函数复合而成的函数 它的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其单调性的规律为 同增异减 即f u 与g x 有相同的单调性 则f
6、g x 必为增函数 若具有不同的单调性 则f g x 必为减函数 2 讨论复合函数单调性的步骤是 求出复合函数的定义域 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围 根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性 探究提高 知能迁移2函数y 的递减区间为 A 1 B C D 解析作出t 2x2 3x 1的示意图如图所示 0 1 递减 要使递减 t应该大于0且递增 故x 1 A 题型三函数的单调性与最值 例3 已知函数x 1 1 当a 时 求f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 第 1 问可先证明函数f x 在
7、1 上的单调性 然后利用函数的单调性求解 对于第 2 问可采用转化为求函数f x 在 1 上的最小值大于0的问题来解决 思维启迪 解设1 x10 2x1x2 2 f x2 f x1 0 f x1 0恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 则函数y x2 2x a x 1 2 a 1在区间 1 上是增函数 当x 1时 ymin 3 a 于是当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 要注意函数思想在求函数值域中的运用 1 中用函数单调性求函数的最小值 2 中用函数的最值解决恒成立问题 在 2 中 还可以使用分离参数法 要使x2 2x a 0在 1 上恒
8、成立 只要a x2 2x x 1 2 1恒成立 由二次函数的性质得 x 1 2 1 3 所以只要a 3即可 探究提高 知能迁移3已知函数 a 0 x 0 1 求证 f x 在 0 上是单调递增函数 2 若f x 在上的值域是求a的值 1 证明设x2 x1 0 则x2 x1 0 x1x2 0 f x2 f x1 f x 在 0 上是单调递增的 题型四函数单调性与不等式 例4 12分 函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 问题 1 是抽象函数单调性的证明 所
9、以要用单调性的定义 问题 2 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此需将右边常数3看成某个变量的函数值 思维启迪 解 1 设x1 x2 R 且x10 f x2 x1 1 2分f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 5分 f x2 f x1 即f x 是R上的增函数 6分 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 8分 原不等式可化为f 3m2 m 2 f 2 f x 是R上的增函数 3m2 m 2 2 10分解得 1 m 故解集为12分f x 在定义域上 或某一单调区间上 具有单调性
10、 则f x1 f x2 f x1 f x2 0 若函数是增函数 则f x1 f x2 x1 x2 函数不等式 或方程 的求解 总是想方设法去掉抽象函数的符号 化为一般不等式 或方程 求解 但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行 探究提高 知能迁移4已知定义在区间 0 上的函数f x 满足 f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 则由于当x 1时 f x 9 x 9或x9或x 9 1 根据函数的单调性的定义 证明 判定 函数f x 在其区间上的单调性 其步骤是 1 设x1 x2是该区间上的任意两
11、个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 然后变形 3 判定f x1 f x2 的符号 4 根据定义作出结论 方法与技巧 思想方法感悟提高 2 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域 函数的增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 3 复合函数的单调性对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增或减 则y f g x 为增函数 若t
12、 g x 与y f t 的单调性相反 则y f g x 为减函数 简称为 同增异减 1 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减 单调区间要分开写 即使在两个区间上的单调性相同 也不能用并集表示 2 两函数f x g x 在x a b 上都是增 减 函数 则f x g x 也为增 减 函数 但f x g x 等的单调性与其正负有关 切不可盲目类比 失误与防范 一 选择题1 若函数y ax与在 0 上都是减函数 则y ax2 bx在 0 上是 A 增函数B 减函数C 先增后减D 先减后增解析 y ax与在 0 上都是减函数 a 0 b 0 y ax2 bx的对称轴方程 y
13、ax2 bx在 0 上为减函数 B 定时检测 2 函数 a 0且a 1 是R上的减函数 则a的取值范围是 A 0 1 B C D 解析据单调性定义 f x 为减函数应满足 B 3 下列四个函数中 在 0 1 上为增函数的是 A y sinxB y log2xC D 解析 y sinx在上是增函数 y sinx在 0 1 上是增函数 A 4 2009 天津理 8 已知函数若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 解析由f x 的图象可知f x 在 上是单调递增函数 由f 2 a2 f a 得2 a2 a 即a2 a 2 0 解得 2 a 1 C
14、 5 若函数f x x3 x R 则函数y f x 在其定义域上是 A 单调递减的偶函数B 单调递减的奇函数C 单调递增的偶函数D 单调递增的奇函数解析f x x3 x R 则函数y f x x3 x R 显然在其定义域内是单调递减的奇函数 B 6 函数f x ln 4 3x x2 的单调递减区间是 A B C D 解析函数f x 的定义域是 1 4 u x x2 3x 4的减区间为 e 1 函数f x 的单调减区间为 D 二 填空题7 若函数f x m 1 x2 mx 3 x R 是偶函数 则f x 的单调减区间是 解析 f x 是偶函数 f x f x m 1 x2 mx 3 m 1 x2
15、 mx 3 m 0 这时f x x2 3 单调减区间为 0 0 8 若函数在区间 m 2m 1 上是单调递增函数 则m 解析 令f x 0 得 1m m 1 综上 1 m 0 1 0 9 已知定义域为D的函数f x 对任意x D 存在正数K 都有 f x K成立 则称函数f x 是D上的 有界函数 已知下列函数 f x 2sinx f x f x 1 2x 其中是 有界函数 的是 写出所有满足要求的函数的序号 解析 中 f x 2sinx 2 中 f x 1 当x 0时 f x 0 总之 f x f x 1 f x 故填 答案 三 解答题10 判断f x 在 0 0 上的单调性 解 1f 1
16、1 f x 在 0 0 上不是增函数 f x 在 0 0 上不具有单调性 11 已知 1 若a 2 试证f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 1 证明任设x10 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 解任设10 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 a 1 综上所述知0 a 1 12 f x 是定义在 0 上的增函数 且 f x f y 1 求f 1 的值 2 若f 6 1 解不等式解 1 令x y 得f 1 0 2 由x 3 0及得x 0 由f 6 1及得f x x 3 2f 6 即f x x 3 f 6 f 6 亦即因为f x 在 0 上是增函数 所以解得综上所述 不等式的解集是
