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1、三垂线定理 06高考复习 复习回顾 基础应用 三垂线定理及其逆定理 一 能力拓展 课堂练习 一基本概念 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 1 三垂线定理包括5个要素 一面 垂面 四线 斜线 垂线 射影和平面内的直线 顺口溜 一定平面 二定垂线 三找斜线 射影可见 直线随便 2 三垂线 的含义 1 垂线与平面垂直 2 射影与平面内的直线垂直 3 斜线与平面内的直线垂直 定理内容分析 二 基础性练习 1 若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射
2、影垂直 则这条直线与斜线的位置关系是 A 垂直 B 异面 C 相交 D 不能确定 2 如图四面体中 如果AB是直径 为圆周上任意点且 垂直于平面 那么该四面体最多有多少个直角三角形 A 有一个直角三角形 B 有两个直角三角形 C 都是直角三角形 D 一定都不是直角三角形 D C 三 例题分析 例 空间四边形ABCD中 AB垂直于CD BC垂直于AD 求证 AC BD 证明 如图 若AB是平面BCD的斜线 过A作AO 平面BCD于O 连结BO AB CD CD BO 三垂线逆定理 同理可得BC OD 则O为 BCD的垂心 BD OC OC是AC的射影 BD AC 三垂线定理 例2 如图 已知正方
3、体ABCD A1B1C1D1中 连结BD1 AC CB1 B1A 求证 BD1 平面AB1C ABCD是正方形 AC BD又DD1 平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 AC在平面AC内 BD1 AC 而AB1 AC相交于点A且都在平面AB1C内 BD1 平面AB1C 证明 连结BD 请同学思考 如何证明BD1 AB1 连结A1B 例3 如图所示 已知PA 平ABC ACB 90 AQ PC AR PB 试证 PBC PQR为直角三角形 证明 PA 平面ABC ACB 90 AC BC AC是斜线PC在平面ABC的射影 BC PC 三垂线定理 PBC是直角三角形 BC 平面PA
4、C AQ在平面PAC内 BC AQ 又PC AQ AQ 平面PBC QR是AR在平面PBC的射影 又AR PB QR PB 三垂线逆定理 PQR是直角三角形 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 垂线b 面ABCD 面 面B1BCC1 面 直线A1C 斜线a直线AB 垂线b 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 垂线b 2 在正方体AC1中 求证 A1C BC1 A1C B1D1 证明 在正方体AC1中A1B1 面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影由三垂线定理知A1C BC1 同理可证 A1C B1D1 小结 运用三垂线定理及逆定理证明两条异面
5、直线垂直 必然要涉及平面的斜线 平面的垂线 这是三垂线定理解题的关键 我们可以从以下三点加以理解 1 知识内容 三垂线定理及其逆定理 2 思想方法 转化的思想 转化的关键是 找平面的垂线3 应用步骤 分三个步骤 一垂二射三证 1 求证 两条平行线和同一个平面所成的角相等 2 从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB DC DA a BDA CDA 60 BDC 90 求BC的长 3 如图 一块正方体木料的上底面上有一点E 要经过点E在上底面上画一条直线和C E的连线垂直 应怎样画 五 布置作业 A C B A1 B1 C1 D D1 E 已知P在平面ABC内的射影是O 若p到 ABC的三边的距离相等 则点O是 ABC的 若PA PB PC 则点O是 ABC的 若PA BC PB AC 则点O是 ABC的 探索1 已知P在平面ABC内的射影是O O是 ABC的垂心 求证PA BC PB AC 探索2 已知P在平面ABC内的射影是O O是 ABC的垂心 求证B在平面PAC内的射影是O 是 PAC的垂心 探索3 已知O是锐角 ABC的垂心 PO 平面ABC BPC 求证 BPA APC 三垂线定理包含三种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 一面四线 的不同情况
