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1、数理金融分析基础原理与方法习题参考答案第一章（P52）题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程（1.2.13）式后面的一个自然段。题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？ 解：参考方程（1.5.9）式和方程（1.5.10）式后面的一个自然段。题1-3 如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为： 两个季度后你的欠款为：
2、三个季度后你的欠款为： 四个季度后你的欠款为：题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。如果在一年的年初支付金额为，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？解：这样的复合利率相当于每个月以月利率支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为： 题1-5 如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为： 即有效利率是每年。题1-6 一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年
3、末报废。该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的6年现金流如下（以1000美元为单位）：在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；在第三年的年初购买新
4、机器：9，11，26，7，8，-12；在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000美元的运转成本；在第三年的成本为新机器22000美元的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了3年的机器价值的负值。其他的3个现金流序列可以通过相似的方法推得。对于年利率，第一个现金流序
5、列的现值为 其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是 46.083，43.794，43.760，45.627 因此，公司应在两年后购买新机器。题1-7 一个打算在20年后退休的人，决定今后240个月每月月初在银行存款，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息一次的名义年利率为6%，那么的值应该为多少？解：是月利率。令，他所有存款的现值为 类似地，如果是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为 这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱） 对于，可以得到 这就是说，在240个月中每月存款361美
6、元，就可以使得他在随后的360个月中每月提取1000美元。注 在这个例子中，我们使用了以下的代数恒等式 为了证明这个等式，我们令 由于注意到 因此， 这就证明了该等式。 利用相同的方法，或者令趋向于无穷，可以证明当时有 题1-8 终身年金给其持有者在未来每一年年末领取数额款项的权利。这就是说，对于每一个，在第年的年末要向持有者支付，如果利率为，每年计息一次，那么这个现金流序列的现值是多少？解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为。这个结论可以由下式推得： 题
7、1-9 假设你向银行借款100000美元买房，负责贷款的经理告诉你可以以0.6%的月利率贷款15年，每月分期偿还。如果银行要收取贷款初始费用600美元，房屋检验费400美元，以及贷款额的一个百分点，那么银行提供的贷款的实际年利率是多少？解：首先我们考虑这个贷款的每月抵押支付，记之为。由于100000美元的贷款需要在未来的180个月中以月利率0.6%偿还，所以 其中。因此， 因此如果你实际得到了100000美元，在180个月中每月偿还910.05美元，那么实际月利率应该是0.6%。但是考虑到银行收取的初始贷款费用、房屋检验费以及一个百分点的贷款额（这意味着收到贷款时，银行将收取名义贷款额1000
8、00美元的1%），你实际只得到了98000美元。因此有效月利率应该满足下式的的值： 其中。因此， 或者，由得 利用实验误差法求上面方程的数值解（由于，很容易计算）得出： 因为，所以0.6%的名义月利率对应的有效年利率约为7.8%。题1-10 假设一个人抵押贷款的金额为，需要在今后个月的每月月末偿还等额。贷款的月利率是，每月计息一次。已知，那么的值是多少？在第月的月末支付已经完成后，还剩下多少贷款的本金？在第月的支付中，多少是利息的支付，多少是本金的扣除（这很重要，因为有些合同允许贷款提前偿还，偿还的利息部分是可减免税的）？解：个月支付的现值为： 因为这必须等于贷款额，我们可以看出， （1-1）
9、其中， 例如，贷款100000美元，需要以每月计息一次的名义年利率0.09在360个月中偿还，那么，每月支付（以美元计）为 令表示在第月月末支付完当月偿还额后还欠的本金余额，为了确定这几个量，应该注意到，如果在第月的月末欠款为，那么在第月月末未发生支付前的欠款应该是。由于每个月末的支付额为，所以有从 开始，我们得到： ； ； 。一般地，对于，有 （由等式（1-1） 令和分别表示在第月月末支付的利息和本金的扣除额。由于是到上一个月月末的欠款额，因此有 和 可以用下面的式子验证上面的结果： 我们发现，相邻月间返还的本金额以倍数增长。例如，在一个期限为30年、利率是每月计息一次的9%的年名义利率、本
10、金为100000美元的贷款中，第一个月支付的804.62美元中只有54.62美元是贷款本金的扣除额；而其余的都是利息。在接下来的每一个月，用于偿还本金的支付额以倍数1.0075增长。题1-11 已知 求出收益曲线和现值函数。解：改写为 ，则可以给出以下的收益曲线 因此，现值函数为 第二章（P109）题2-1在金融学中，资产和资产结构是如何定义的？解：参考定义2.3.4和定义2.3.5。题2-2不确定性与风险二者是什么关系？风险与协方差的基本关系是什么？解：本题第一问可参考2.4节第一个自然段，第二问答案就是本章（2.4.15）式。题2-3 什么是公司的资本结构和企业（或公司）价值？解：第一问即
11、2.6.1第一自然段中：公司的资本结构是指其债务、权益和其它融资工具的相互组合及其组合中的比例关系。公司理财决策的目的是确定最佳资本结构，使之公司和投资人的财富价值实现最大化。第二问企业（或公司）价值即：企业债券和股票的收益率是对投资人而言的，但对于企业来说，它们则是成本。一般把企业债券和股票的市场价值总和称为企业的价值。习题2-4 M-M定理的基本含义是什么？解：即（2.6.6）式后面的的自然段：企业的债务与股票的总价值等于在各种状态下企业收益的现值，这个现值是按照相关自然状态下一美元的要求权价格计算的，因此，总价值+与债务对股票的比例无关。这就是著名的莫迪利亚尼-米勒定理的结论。题2-5 在金融学中，完备市场的条件是什么？市场有效性的基本条件是什么？解：第一问可见2.7.4 完备市场的具体假设条件这部分。第二问参考 (2.7.10)式，即：各种资产的预期收益率相等。就是完备市场有效性的基本条件。题2-6 考虑将100的资本投资到两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为： ， ； ， 若两个回报率的相关系数，投资者的效用函数为：求这两个证券的
