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1、 1 命题p q p q 綈p的真假判断 真 真 假 假 假 假 假 假 真 真 真 真 2 全称量词和存在量词 1 全称量词有 用符号 表示 存在量词有 用符号 表示 2 含有全称量词的命题 叫做 对M中任意一个x有p x 成立 可用符号简记为 读作 所有的 任意一个 任给 存在一个 至少有一个 有些 全称命题 x M p x 对任意x属于M 有p x 成立 3 含有存在量词的命题 叫做特称命题 存在M中的元素x0 使p x0 成立 可用符号简记为 读作 x0 M p x0 存在M中的元素x0 使p x0 成立 3 含有一个量词的命题的否定 x0 M 綈p x0 x M 綈p x 全称命题与
2、特称命题的否定有什么关系 提示 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 1 已知命题p 3 3 q 3 4 则下列选项中正确的是 A p q为假 p q为假 綈p为真B p q为真 p q为假 綈p为真C p q为假 p q为假 綈p为假D p q为真 p q为假 綈p为假 解析 命题p 3 3是真命题 q 3 4是假命题 p q为真 p q为假 綈p为假 答案 D 2 已知命题p 所有有理数都是实数 命题q 正数的对数都是负数 则下列命题中为真命题的是 A 綈p qB p qC 綈p 綈q D 綈p 綈q 解析 不难判断命题p为真命题 命题q为假命题 从而上述叙述中只有 綈p 綈
3、q 为真命题 答案 D 3 下列命题中是全称命题的是 A 圆有内接四边形B C D 若三角形的三边长分别为3 4 5 则这个三角形为直角三角形解析 由全称命题的定义可知 圆有内接四边形 即为 所有圆都有内接四边形 是全称命题 答案 A 4 已知命题p x R sinx 1 则 A 綈p x R sinx 1B 綈p x R sinx 1C 綈p x R sinx 1D 綈p x R sinx 1解析 命题p是全称命题 全称命题的否定是特称命题 答案 C 5 命题 至少有一个点在函数y kx k 0 的图象上 的否定是 A 至少有一个点在函数y kx k 0 的图象上B 至少有一个点不在函数y
4、kx k 0 的图象上C 所有点都在函数y kx k 0 的图象上D 所有点都不在函数y kx k 0 的图象上 解析 因特称命题p x M p x 的否定为全称命题綈p x M 綈p x 答案 D 例1 分别指出由下列命题构成的 p q p q 綈p 形式的命题的真假 1 p 3是9的约数 q 3是18的约数 2 p 菱形的对角线相等 q 菱形的对角线互相垂直 3 p 方程x2 x 1 0的两实根符号相同 q 方程x2 x 1 0的两实根绝对值相等 4 p 是有理数 q 是无理数 思路分析 由含逻辑联结词 或 且 非 的命题的形式及其真值表直接判断 解 1 p是真命题 q是真命题 p q是真
5、命题 p q是真命题 綈p是假命题 2 p是假命题 q是真命题 p q是真命题 p q是假命题 綈p是真命题 3 p是假命题 q是假命题 p q是假命题 p q是假命题 綈p是真命题 4 p是假命题 q是真命题 p q是真命题 p q是假命题 綈p是真命题 判断含有逻辑联结词 或 且 非 的命题的真假 必须弄清构成它的命题的真假 弄清结构形式 根据真值表判断其真假 变式迁移1 2009 湖北模拟 若 p且q 与 綈p或q 均为假命题 则 A p真q假B p假q真C p与q均真D p与q均假解析 p且q为假 则p与q不可能全真 而綈p或q为假 则綈p与q均为假 从而p为真 q为假 答案 A 例2
6、 已知命题p 方程x2 mx 1 0有两个不等的负实根 命题q 方程4x2 4 m 2 x 1 0无实根 若p或q为真 p且q为假 求实数m的取值范围 解决这类问题时 应先根据题目条件 即复合命题的真假情况 推出每一个命题的真假 有时不一定只有一种情况 然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围 最后根据每个命题的真假情况 求出参数的取值范围 变式迁移2已知两个命题r x sinx cosx m s x x2 mx 1 0 如果对 x R r x 与s x 有且仅有一个是真命题 求实数m的取值范围 短语 所有 任意 凡是 每一个 等在陈述句中都表示事物的全体 这些词语都可以理解为全称量词 相应
7、的命题是全称命题 短语 有一个 有些 至少有一个 在陈述句中都表示事物的个体或部分 可以理解为存在量词 相应的命题是特称命题 变式迁移3指出下列命题中 哪些是全称命题 哪些是特称命题 并判断真假 1 若a 0 且a 1 则对任意实数x ax 0 2 对任意实数x1 x2 若x1 x2 则tanx1 tanx2 3 T R 使 sin x T sinx 4 x R 使x2 1 0 解析 1 2 是全称命题 3 4 是特称命题 1 ax 0 a 0 a 1 恒成立 命题 1 是真命题 2 存在x1 0 x2 x10 命题 4 是假命题 例4 写出下列命题的 否定 并判断其真假 1 p x R x2
8、 x 0 2 q 所有的正方形都是矩形 3 r x R x2 2x 2 0 4 s 至少有一个实数x 使x3 1 0 思路分析 这四个命题中 p q是全称命题 r s是特称命题 全称命题p x M p x 它的否定綈p x M 綈p x 特称命题q x M q x 它的否定綈q x M 綈q x 1 全 特 称命题的否定与命题的否定有着一定的区别 全 特 称命题的否定是将其全称量词改为存在量词 或存在量词改为全称量词 并把结论否定 而命题的否定则是直接否定结论即可 2 要判断 綈p 命题的真假 可以直接判断 也可以判断p的真假 因为p与綈p的真假相对 变式迁移4 2009 天津高考 命题 存在
9、x0 R 2x0 0 的否定是 A 不存在x0 R 2x0 0B 存在x0 R 2x0 0C 对任意的x R 2x 0D 对任意的x R 2x 0解析 特称命题的否定是全称命题 故选D 答案 D 1 逻辑联结词 或 且 非 1 命题p且q 一般地 用联结词 且 把命题p和q联结起来 就得到一个新命题 记作p q 注意 且 与自然语言中的 并且 及 和 相当 p q的真假判定 只有当p q都为真时 p q才为真 其他三种情况都为假 2 命题p或q 一般地 用联结词 或 把命题p和q联结起来 就得到一个新命题 记作p q 注意数学中的 或 与生活中的 或 不同 数学中仅研究可兼 或 命题 p q的
10、真假判定 只有当p q都为假时 p q才为假 其他三种情况都为真 3 非 否定 逻辑联结词 非 是由日常用语中的 不是 全盘否定 问题的反面 抽象而来的 正确了解其意义有利于解决数学问题 一般地 对命题p加以否定 就得到一个新的命题 记作綈p p与綈p的真假不同 一个为真 另一个必定为假 可类比集合中的补集加以理解 2 全称量词与存在量词 1 要判定全称命题是真命题 需对集合M中每个元素x 证明p x 成立 如果在集合M中找到一个元素x0 使得p x0 不成立 那么这个全称命题就是假命题 2 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合M中 至少能找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 3 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 因此 我们可以通过 举反例 来否定一个全称命题
