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1、集合与简易逻辑 复习课 内容提要 集合的基本概念及运算 简易逻辑及充要条件 绝对值不等式及一元二次不等式的解法 反证法 的真假判断方法 知识提要 集合与简易逻辑 集合 不等式 简易逻辑 概念 性质 运算 把一些确定的对象集在一起 就成为集合 集合中元素具有确定性 互异性 无序性 子集 交集 并集 补集 对任意元素x A 有x B 则 结论 二次不等式 绝对值不等式 b x a x a x a 注意先将二次系数化为正 并注意数形结合 分类讨论 反证法 逻辑联结词 四种命题 充要条件 或 且 非 p q中至少有一个为真时 命题p或q为真 否则为假 p且q 非p p或q p q中两个均为真时 命题p
2、且q为真 否则为假 p为真时 非p为假 p为假时 非p为真 则A是B的充分条件 B是A的必要条件 则A是B的充要条件或B是A的充要条件 步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 从假设出发 推理 得出矛盾 结论 判断假设不正确 肯定命题正确 判断方法 CUA x x U且xA 二次不等式解法 注意先将二次系数化为正 并注意数形结合 分类讨论 不等式ax bx c 0恒成立 解集为R 四种命题 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 互逆 否命题 若 p则 q 互否 逆否命题 若 q则 p 互为逆否 互逆 互否 互为逆否 注 1 常见关键词的否定 且 存在 至少有两个 一个也没有 不都是 全是 不是
3、否定 或 任意 至多有一个 至少有一个 都是 全是 是 关键词 注 2 充要条件判断方法 定义法 等价法 利用命题的逆否命题 集合法 则A是B充分条件 则B是A必要条件 则A是B的必要条件 几个需要说明的问题 弄清集合与元素 集合与集合的关系 掌握有关的术语和符号 特别要注意以下的符号 的区别 a与 a 的关系 集合A x y x2 B y y x2 C x y y x2 的区别 求解集合问题基本思想方法 不等式问题利用数轴 注意实心和空心 以及端点的选取 求解集合问题时 切不可忽略了 AB或AB均含有A 的情形 A B 含有A或B为的情形 利用文氏图求解 绝对值不等式的解法 关键在于去绝对值
4、a 由绝对值的求解不等式 b 由绝对值的去绝对值符号 从而求出不等式的解 几何意义 代数意义 a 表示数轴上a到原点0的距离 a b 表示数轴上点a到b的距离 a 几个需要说明的问题 一元二次不等式的类型 常系数的一元二次不等式 含字母系数的一元二次不等式大致分为两类 的符号不确定 讨论 的大小 通过因式分解 或求根公式 得出两根 则讨论根的大小 一元二次不等式的应用 已知一个不等式的解集 求另一个不等式的解集 恒成立问题 通常可结合来考虑 二次函数图象 1 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 3 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 2 二次不等式ax2 bx c 0恒成立 4 二次不等式
5、ax2 bx c 0恒成立 基础训练 1 有n个元素的集合 a1 a2 an 有 个子集 真子集 个 非空真子集 个 2 设全集U R 集合P x x 1 集合Q x 0 x 5 则 CUP Q 3 已知集合A x x2 5x 4 0 B x x a 若A B A 则a范围为 2n 2n 1 2n 2 x 0 x 1 a a 4 基础训练 4 不等式1 2x 5 9解为 不等式解集为 5 若B是A的充分不必要条件 则A是B的 条件 B是 A的 条件 6 若p q 3x 4 2 则 p是 q的 条件 A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要 x 3 x 7或 2 x 2 x 1
6、x 0 必要不充分 必要不充分 A 典例评析 例1 集合 若 求实数a的范围 解析 A x 5 x 3 B y y a 1 由 结合数轴 由图知 a 1 3 即有 a 2 评析 1 确认描述法表示的集合A x p x 一看 元素 二看 属性 2 解决含不等式的集合问题利用数轴 数形结合 注意实心 空心和界点 典例评析 例2 关于x的不等式与的解集分别为A B 若A B A 试求实数a的取值范围 解析 又由 当3a 1 2即a 时 由若A B A知 如图则有 2a a2 1 2 3a 1 2a 2 a 1 a 1 由上知 当3a 1 2即a 时 如图则有 B A 2a a2 1 2 3a 1 B
7、 A 2a 3a 1 a 1 综上 典例评析 例3 若p q x2 2x 1 m2 0 m 0 若 p是 q的充分非必要条件 求m范围 典例评析 例4 已知关于x的不等式ax2 2ax a2 2 0 1 不等式的解集为R 试求a的取值范围 2 若解集为 试求a的取值范围 典例评析 例5 解不等式 x 1 x 1 4 解析1 利用绝对值的代数意义 找出绝对值零值点 1 1 分三段去绝对值 当x 1时 原不等式等价于 x 1 x 1 4 即 2x 4 则x 2 此时应取 x 2 当 1 x 1时 原不等式等价于 x 1 x 1 4 即2 4不成立 此时无解 当x 1时 原不等式等价于 x 1 x 1 4 即2x 4 则x 2 此时应取 x 2 综上 x x 2或x 2 典例评析 例5 解不等式 x 1 x 1 4 解析2 由图可知 要使得 x 1 x 1 4 则必须x 2或x 2 本课小结 集合的基本概念及运算 简易逻辑及充要条件 绝对值不等式及一元二次不等式的解法 反证法 数形结合 转化化归 函数与方程 分类讨论 等价转换 正难则反 全面考虑 特殊优先
