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1、第九章直线 平面 简单几何体 第7课时二面角 二 要点 疑点 考点 1 熟练掌握求二面角大小的基本方法 1 先作平面角 再求其大小 2 直接用公式 2 掌握下列两类题型的解法 1 折叠问题 将平面图形翻折成空间图形 2 无棱 二面角 在已知图形中未给出二面角的棱 基础题例题 二面角 AB 的平面角是锐角 C是平面 内的点 不在棱AB上 D是C在平面 上的射影 E是棱AB上满足 CEB为锐角的任意一点 则 A CEB DEB B CEB DEB C CEB DEB D CEB与 DEB的大小关系不能确定 A 2 直线AB与直二面角 l 的两个半平面分别交于A B两点 且A Bl 如果直线AB与
2、所成的角分别是 1 2 则 1 2的取值范围是 A B C D D 基础题例题 在长 宽 高分别为1 1 2的长方体ABCD A1B1C1D1中 截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是 4 把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平行的直线折成二面角 此时A点变为 当时 则此二面角的大小为 arccos 1 3 基础题例题 5 已知正方形ABCD中 AC BD相交于O点 若将正方形ABCD沿对角线BD折成60 的二面角后 给出下面4个结论 AC BD AD CO AOC为正三角形 过B点作直线l 平面BCD 则直线l 平面AOC 其中正确命题的序号是 基础题例题 6 在四面体P A
3、BC中 PC 平面ABC AB BC CA PC 求二面角B AP C的大小 E F 解 如图过B作BE AC于E 过E作EF PA于F 连结BF PC 平面ABC BE 平面PAC BF PA BFE就是二面角B PA C的平面角 设PC 1则AB BC CA PC 1 E为AC的中点 所求二面角大小为 能力 思维 方法 能力 思维 方法 7 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 能力 思维 方法 7 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135
4、 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 证明 1 D AC B是直二面角 又 DC AC DC 平面ABC 面面垂直性质定理 又AB平面ABC DC AB 又AB BC AB 平面BCD A B C D 能力 思维 方法 7 平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 DCB 135 沿对角线AC将四边形折成直二面角 证 1 AB 面BCD 2 求面ABD与面ACD所成的角 证明 2 过C作CH DB于H 平面ABD 平面DCB CH 平面ABD AB 平面BCD 又 平面ABD 平面DCB DB B H 过H作HE AD于E E
5、 连接CE 由三垂线定理知CE AD HE AD CE AD CEH是所求二面角的平面角 CEH 60o 即所求二面角为60o 解题回顾 准确画出折叠后的图形 弄清有关点 线之间的位置关系 便可知这是一个常见空间图形 四个面都是直角三角形的四面体 能力 思维 方法 8 在直角梯形P1DCB中 P1D CB CD P1D P1D 6 BC 3 DC 3 A是P1D的中点 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置 使二面角P CD B成45 设E F分别为AB PD的中点 1 求证 AF 平面PEC 2 求二面角P BC A的大小 能力 思维 方法 E F P 证明 1 取PC的中点G G 连接
6、FG EG 则FG CD 且FG CD AE CD 且AE CD AE FG AE FG 从而四边形AEGF是平行四边形 AF EG EG平面PEC AF 平面PEC 8 在直角梯形P1DCB中 P1D CB CD P1D P1D 6 BC 3 DC 3 A是P1D的中点 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置 使二面角P CD B成45 设E F分别为AB PD的中点 1 求证 AF 平面PEC 2 求二面角P BC A的大小 能力 思维 方法 P 证明 2 CD 平面PAD 平面PAD 平面ABCD PAB为二面角P BC A的平面角 在Rt PAB中 PA 3 PB PA AD 且
7、PDA 45o PA AD PA 平面ABCD AB BC 由三垂线定理得PB BC sin PBA 得所求的二面角为60o 解题回顾 找二面角的平面角时不要盲目去作 而应首先由题设去分析 题目中是否已有 能力 思维 方法 9 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是BC的中点 求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值 能力 思维 方法 A D B C B1 A1 D1 C1 E 解题分析 所求二面角 无棱 要么先找 棱 要么用面积投影 解法一 取B1C1的中点M M 连接EM E为BC的中点 EM 平面A1B1D1 B1D1M是 D1B1E的射影三角形 设平面B1D1E和平面A1B
8、1C1D1所成的二面角为 平面ABCD 平面A1B1C1D1 平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角也为 设正方体棱长为a 所求二面角的正弦值为 9 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是BC的中点 求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值 能力 思维 方法 A D B C B1 A1 D1 C1 F 解法二 取BC的中点F M 连接BD EF 所求二面角的正弦值为 E E为BC的中点 EF BD BD B1D1 EF B1D1 EF B1D1共面 平面ABCD 平面EB1D1F EF 作BG EF交FE的延长线于G G 连接B1G 则 B1GB是平面B1D1E 和平面ABCD所成二面角的平面角 设正方体棱长为a 则BE BG 在Rt B1BG中 B1G 解题回顾 解法一利用公式 思路简单明了 但计算量较解法二大 解法二的关键是确定二面角的棱 再通过三垂线定理作出平面角 最终解直角三角形可求出 能力 思维 方法
