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1、江苏省赣马高级中学高三数学导数的概念与运算复习教案01一复习目标： 1了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念 二教学过程：（）基础知识详析1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一
2、种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4曲线的切线 在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图31中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线5瞬时速度
3、在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度6边际成本设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：.当趋向于0时，的极限是300.我们把的极限300叫做当q50时的边际成本.经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A7、导数的定义
4、（1）增量.当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即=注：1. 是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。2. 导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。（2）导函数如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即函数在处的
5、导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即。所以函数在处的导数也记作。注：1. 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。2. 求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即3.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：1）.求函数的改变量。2）.求平均变化率。3）.取极限，得导数。（3）多顶式函数的导数求导法则：（1）（2） （nN*）（3）; 8导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分
6、两步：(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为（）典型例题例1：求下列函数的导数：（）y=3x2-12 (2)y=(2x2-1)(3x+1)解：（） (2) y=6x3+2x2-3x-1 (3)，两边都是关于x的函数，求导得。例2： (1)求函数在点（，）处切线的方程(2)在抛物线y=x2+x-1上取横坐标为1, 3的两点，过这两点引割线，在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线？解：（），切线的斜率为故切
7、线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.（）两点为（1，1）、（3，11），所引割线的斜率为5。设在抛物线上M（x0,y0）处的切线平行于所引的割线，则=2x0+1=5, x0=2,y0=22+2-1=5,因此所求的点为（2，5）思维点拨： 在函数中，若曲线有切线，则此函数导数的几何意义即为切线的斜率例3、已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。 （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线与的夹角。 分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 （1）由方程组 解得 A(-2，0)，B(3，5) （2）由y=2x，则，。设两直线的夹角为，根据两直线的夹角公式，
8、 所以 说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。例4、已知曲线=，在它对应于0，2的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在轴上的截距为最小，并求出这个最小值。【解】设点P的坐标为（，），则过点P的切线的斜率为=，过P点的切线方程为-（）=（）（-）令=0，得轴上截距=，令得002，=在0，2上是增函数当=0时，min=-6,此时点P的坐标（0，-6）。思维点拔建立轴上的截距关于点P的横坐标的函数关系式是解决本题的突破口，利用导数来求函数的最值是关键。例5已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数
9、的解析式；（）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例6（2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷21） 已知为正整数. （）设； （）设分析：本题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。证明：（）因为，所以（）对函数求导数: 即对任意三、强化训练1设函数f(x)在处可导，则等于 （ ） A B C D2若，则等于 （ ）A B C3 D23曲线上切线平行于x轴的点的坐标是 （ ） A（-1，2） B（1，-2） C（1，2） D（-1
10、，2）或（1，-2）4若函数f(x)的导数为f(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4）处的切线的倾斜角为（ ） A90 B0 C锐角 D钝角6一直线运动的物体，从时间t到t+t时，物体的位移为s，那么为（ ） A从时间t到t+t时，物体的平均速度 B时间t时该物体的瞬时速度 C当时间为t 时该物体的速度D从时间t到t+t时位移的平均变化率8对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为 （ ）A B C D9（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16）f()是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）A若a0,则函数g（）的图象关于原点对称.B若a=1，2b0,则方程g（）=0有大于2的实根.C若a0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.D若a1,b2,则方程g（）=0有三个实根.10设生产个单位产品的总成本函数是，则生产8个单位产品时，边际成本是（A） A2B8C10 D1611、曲线在处的切线的倾斜角是（ C ）ABCD10设是函数的导函数，的图象如下图（1）所示，则的图象最有可能的是（）（1） 11若曲线与轴相切，则之间的关系满足（） 12若对任意，则212
