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1、 理科数学 理科数学参考参考答案答案 第第 1 1 页页 共共 5 5 页页 2015 年福建师大附中高考模拟考 数数学学 理理科科 参考参考答案答案 一 选择题一 选择题 BABBD CADAC 二二 填空题填空题 11 10 12 3 13 1 4 14 1 15 bdca 三三 解答题解答题 本大题有本大题有 6 小题 共小题 共 80 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 13 分 17 解解 1 因为 30 至 50 岁的人中有意向参与摇号电动小汽车 非电动小汽车和竞价 的人数占总体的比例分别为 501 50010 150
2、3 50010 3006 50010 2 分 所以 抽取的人 10 人中摇号电动小汽车 非电动小汽车和竞价的人数分别为 1 101 10 人 3 103 10 人 6 106 10 人 4 分 2 由题意可知 在上述 10 人中有竞价申请意向的人数为6 500 300 10 人 所以 4 人中恰有 2 人竞价申请意向的概率为 7 3 4 10 2 4 2 6 C CC 6 分 3 4 n 的可能取值为4 3 2 1 0 7 分 因为用样本估计总体 任取一人 其摇号电动小汽车意向的概率为 5 1 1000 200 p 8 分 所以 随机变量 服从二项分布 即 5 1 4 B 9 分 625 25
3、6 5 1 1 5 1 0 40 0 4 CP 625 256 5 1 1 5 1 1 31 1 4 CP 理科数学 理科数学参考参考答案答案 第第 2 2 页页 共共 5 5 页页 625 96 5 1 1 5 1 2 22 2 4 CP 625 16 5 1 1 5 1 3 13 3 4 CP 625 1 5 1 1 5 1 4 04 4 4 CP 即 的分布列为 0 1 2 3 4 P 625 256 625 256 625 96 625 16 625 1 11 分 的数学期望为 5 4 5 1 4 npE 13 分 18 1 证明 11 AEAB 11 AB AB ABAE 又 1 A
4、BAA 1 AEAAA AB 面 11 A ACC 又AC 面 11 A ACC ABAC 2 分 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 则 0 0 0A 1 0 1 2 E 1 1 0 2 2 F 1 0 0 1 A 1 1 0 1 B 设 D x y z 111 ADAB 且 0 1 即 11 0 0 x y z 0 1D 11 1 22 DF 1 0 1 2 AE 5 分 11 0 22 DF AE DFAE 6 分 2 假设存在 设面DEF的法向量为 nx y z 则 0 0 n FE n DF 1 1 1 2 2 2 FE 11 1 22 DF 111 0 222 11
5、 0 22 xyz xyz 即 3 2 1 12 2 1 xz yz 令 2 1z 3 12 2 1n 8 分 由题可知面ABC的法向量 0 0 1m 9 分 平面DEF与平面ABC 所成锐二面的余弦值为 14 14 14 cos 14 m n m n m n 即 22 2 1 14 14 9124 1 E D F C C1 A A1 B B1 x y z 理科数学 理科数学参考参考答案答案 第第 3 3 页页 共共 5 5 页页 1 2 或 7 4 舍 12 分 当点D为 11 AB中点时 满足要求 13 分 理科数学 理科数学参考参考答案答案 第第 4 4 页页 共共 5 5 页页 222
6、2 22 312 3 0 5 1 2 1 2 2 4 3 1 333 1 4 222 35 1 0 4 43 0 22 F c c c c ea a a BM AMyxyA ac x M b y 右焦点 c 0 到直线3x 4y 12 0的距离为3 分 离心率 椭圆方程为 19 解 1 若lx轴 则A 1 直线的方程为令直线与x轴交于 分 点 22 2222 1122 22 1212 22 2 112 1 1 5 21 43 3 4 84120 8412 7 3434 5 4 0 2 2 1 55 25 4 22 ANMN xy kxk xkA x yB xy kk xxx x kk MyNA
7、 N M yk xy kk x x 分 若直线l斜率存在 设直线AB的方程为 y k x 1 代入 得 设 则分 设定点下面证明三点共线 2 12 1 121 1 1212 1 22 22 1 222 2 1 2 1 8 3 2 1 2 1 253 2 3 1 1 25 3 25 2 5 28 3 25 8412 2 528 3434 3 25 2 408248 34 0 3 25 34 ANMN ANMN k x kk k xk x x kxxx x kxxx x x kk k kk x kkkk xk kk 分 5 0 13 2 A M N N 三点共线 12分 直线AM恒过x轴上定点分
8、理科数学 理科数学参考参考答案答案 第第 5 5 页页 共共 5 5 页页 20 解 解 xf的定义域为 0 ln1 1 ln x a x x axxxf 来源 学科网 ln x a xxg 1 分 1 22 x ax x a x xg 当0 a时 0 x g恒成立 xg 的递增区间为 0 3 分 当0 a时 0 0 0 xgaxxgax xg 的递减区间为 0 a递增区间为 a 6 分 0 a时 由 知 x f 的递减区间为 0 a递增区间为 a 1lnln min a a a aafxf 7 分 当01ln a 即 e a 1 时 有0 x f恒成立 xf 为 0 上的增函数 又 0 21
9、1 ln 1 1 e a ee a ee f 02ln aaeeaeef 0 1 ef e f 1 0 e e x 使得 0 0 xf xf 为 0 上的增函数 0 xx 为 xf的唯一的零点 9 分 当 e a 1 0 时 01ln min aafxf 由条件提供的命题 0 0axa 使得 0ln xxa 为真命题 即 0 0axa 使得 0 ln ln x xxa x a xxf 所以 0 1 ax 使得 0 1 x f x f 在区间 0 a上为减函数 0 0 0 11 xfaxxxfxx 又 01ln e a e a eef 0 efaf 2 eax 使得 0 2 x f x f 在区
10、间 a上为增函数 k kksss 555 uuu 0 0 22 xfxxxfxax 来源 Z xx k Com 所以 xf的递增区间为 0 1 x和 2 x递减区间为 21 xx 11 分 1ln 1 0 11 x e ax 理科数学 理科数学参考参考答案答案 第第 6 6 页页 共共 5 5 页页 02 ln 1111111 xaxaxaxxaxxf xf 在 21 xx上为递减函数 0 2 xf 0 0 2 xfxx恒成立 k kksss 555 uuu 12 分 xfx 在区间 2 x上 函数 xf有且只有一个零点 13 分 综上 0 a时 函数 xf有且只有一个零点 14 分 来源 2
11、1 1 解 由特征值 特征向量定义可知 A 1 1 1 即 11 1 11 ab cd 得 1 1 ab cd 同理可得 3212 328 ab cd 解得2321 abcd 因此矩阵 A 23 21 4 分 又4adbc 所以矩阵 A 的逆矩阵为 13 44 11 22 7 分 2 解 1 圆 O cossin 即 2 cossin 圆 O 的直角坐标方程为 22 xyxy 即 22 0 xyxy 3 直线 2 sin 42 l 即sincos1 则直线l的直角坐标方程为 1yx 即10 xy 4 分 由 22 0 10 xyxy xy 得 0 1 x y 故直线l与圆 O 公共点的一个极坐标为 1 2 7 分 3 解 2 2 2 22 a a aa 2 0 2 2 aa a 当时 2 2 2 2 aaa a 当且时 3 分 2 1 II 函数定义域为 2 1 2 1xxxx 由柯西不等式得 1 2 4 2 即 2 19 13xxxx 4 2即4 2 max 013xxx 当且仅当时 等号成立 4 2 7 分
