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1、书书书湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案?湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案必考试卷?一? 选择题?题?号? ?答?案? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对?恒成立?故? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ?恒成立?即? ? ?对? 恒成立? 构造? ? 开口向下的二次函数? 的最小值的可能值为端点值? 故只需保证? ? ? ?解得?二? 填空题? ? ?真? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 对于? ? ? ? 不存在? 给力点? ?对于? ? 取? ?
2、在? 上有零点? ? ? ? 在? 上有零点? ? ? ? ? 所以?存在? 给力点? ?对于? ? ? ? ? ? ? 易知? 只有一个零点?三? 解答题? ? ? 解析? ? ? ?分?猜想? ? ?分? 证明如下?当? ?时? ? 猜想成立?分?假设? ? 时猜想成立? 即? ? ?分?此时? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?因此? ?时? 猜想也成立? ?分?由?知? ? ?对?成立? ?分?湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案? ? ? 解析? ? 由题意知? ? 是奇函数?
3、 ? ? 是偶函数? 是非奇非偶函数?分?故?分? 因为基本事件总数为? ? 其中两个函数相加为奇函数的只有? ? 即事件?所包含的基本事件总数为?故? ?分? 因为基本事件总数为? ? ? 事件?发生当且仅当第一次取的卡片上是奇函数或非奇非偶函数? 第二次取的卡片上是偶函数? 故事件?所包含的基本事件总数为? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? 解析? ? 由已知得? ?分?又?为?关于点?的对称点? 故?分? ?的方程为?分?代入? ? ?整理得? ? ? ? 解得? ?分?因此?分?所以?为?的中点? 即? ? ? ?分? 直线?与抛物线?除?以外没有其它公共点?分?直线?的方程为?
4、 ?分?即?代入? ? ?得? ? ? ? ?解得? ? ?分?即直线?与?只有一个公共点? 所以除?以外直线?与?没有其它公共点? ?分?必考试卷?一? 选择题? ? ? ? 解析? 观察三角形数? ? ? 记该数列为? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?观察正方形数? ? ? 记该数列为? ? 则?把四个选项的数字? 分别代入上述两个通项公式? 可知使得?都为正整数的只有? ? ? ? ? ? ? ? 解析? 问题化为? ? ? 即两个函数图象有?个交点? 分别作出图象? 分析交点个数情况? 求出切线斜率即可?湖南师大附中? ? ? ? ? ?
5、 ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案?二? 填空题? ? ? 槡 ? 解析? 如图? 设左焦点为? 连接? ? ? 显然? ? ? ?由已知? ? ? ? ? ?则? ?平行于? ?故? ? ? ?又根据双曲线的定义得? ? ? ? ? ?在直角三角形? ?中? ? ?即? ? ?槡? ?三? 解答题? ? ? 解析? ? 因为?平面? ? ? ? ?平面? ? ? ?所以? ?分?因为? ? ? ?是菱形?所以? ? ?因为? ?所以? ?平面? ?分?因为? ?平面? ?所以平面? ?平面? ?分? 解法一? 因为?平面? ? ? ? ? ? 以?为原点? ? ? ? ?
6、 ? ?方向为?轴正方向建立如图所示空间直角坐标系?因为? ? ? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ?分?则?槡 ?槡? ?所以? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ?槡 ?分?湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案?设平面? ? ?的法向量为?因为? ? ? ? ? ?槡 ?所以? ?槡? ? ?令? ?得?槡? ?分?同理可求得平面? ? ?的法向量为? ? ? ?所以? ? ?槡 ?槡? ?槡 ?分?因为二面角? ?的平面角为钝角?所以二面角? ?的余弦值为?槡 ? ?分?解法二? 由
7、? 知平面? ?平面? ?连接?与?交 于点?连接? ? ?因为? ? ? ? ?所以? ? ?为平行四边形?因为?分别是? ?的中点?所以? ?为平行四边形?且? ? ? ?因为平面? ?平面? ? ?过点?作? ? ?于? 则? ?平面? ?过点?作? ?于? 连接? ? 则? ? ?所以? ?是二面角? ?的平面角的补角?分?在? ? ? ? ?中? ? ? ?槡? ? ?槡 ?分?在? ?中? 因为? 所以? ? ?槡?槡? ?因为? ? ?所以? ?槡?槡? ?因为? ? ? 所以? ? ?为直角三角形?分?所以? ? ? ? ?槡槡? ?槡 ?槡槡?分?所以? ? ?槡?槡? ?分
8、?所以? ? ? ? ? ?槡 ?所以二面角? ?的余弦值为?槡 ? ?分? ? ? 解析? ? 由已知?槡? ? ?故所求椭圆方程为? ?分? 由? 知? ? ?湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案?由题意可设? ? ? ? ? 则? ?由? ? ? ?整理得? ? ? ? ? ? ? ?分?方程显然有两个解? 由韦达定理? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? 设? ?分?若存在满足题设的?点? 则? ? 由? ? ? ? ?整理? 可得? ? ? ?恒成立? 所以? ? ? ?分?故存在定点? 满足题设要
9、求? ? ? 解析? ? 由题可知? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ?时? 令? ? ? 则? ? ? ? ? ?令? ? ? 则? ? ? ? ? ?此时函数?在? ?上单调递减? 在? ?上单调递增?分?当? ?时? ? ?在?上单调递增?分?当? ?时? 令? ? ? 则? ? ? ? ? ?令? ? ? 则? ? ? ? ? ?此时函数?在? ?上单调递增? 在? ?上单调递减?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ?分?当? ?时? ? ? 函数在?上单调递增? 不可能有两个交点? 故? ? ?分?当? ?时? 令? ? ? 则? ? 令? ? ? 则?故?在?上单调递增? 在?上单调递减?分?不妨设? ? ? 且? ?要证? ? ? ? ?需证? ? ? ? ?即证? ? ? ?分?湖南师大附中? ? ? ? ? ? ? ? ?学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案?又? ? ? ? ? 所以只需证? ? ?即证? 当? ?时? ? ? ?分?设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在?上单调递减? ?分?又? ? ? ?故? ? ? ? ?分? 注? 如果学生在? 式开始直接分析函数的单调性? 得到函数为单调递减函数? 再证明结论? 也可给满分?
