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1、2012014 4 届雅礼中学高三第届雅礼中学高三第六六次月考次月考 数学试卷数学试卷 理科理科 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 8 8 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4 40 0 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项一项是是符合要求的符合要求的 1 函数 0 5 1logyx 的定义域是 A 0 0 5 B 0 5 C 0 2 D 2 2 在 ABC 中 A 45 AC 2 BC 2 则角 B 的大小为 A 30 B 60 C 30 或 150 D 60 或 120 3 已知三个正态分布密度函数 2 2 2 1 e 2 i i x i i
2、 x x R 1 2 3i 的图象 如图所示 则 A 123 123 B 123 123 C 123 123 D 123 123 4 给出下列命题 3 xxx R 若pq 是真命题 则pq 也是真命题 命题 32 210 xxx R 的否定是 22 000 210 xxx R 命题 若 22 ambm 则ab 的逆命题是真命题 其中真命题的个数是 1 2 3 4 5 为了得到函数 y sin 2x 6 的图像 可以将函数 y cos2x 的图像 A 向右平移 6 个单位长度 B 向左平移 3 个单位长度 C 向左平移 6 个单位长度 D 向右平移 3 个单位长度 6 已知椭圆 22 22 1
3、0 yx ab ab 的右焦点为 F 上顶点为 B 右顶点为 A M 是椭圆上一点 满足 MF FA 如果 OMA O 为原点 的面积是 OMB 面积的 2 倍 则椭圆的离心率为 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 5 5 7 一个多面体的三视图如下 则此多面体外接球的 表面积是 A 3 B 12 C 6 D 43 O y x 1 xy 2 xy 3 xy O E D F P 8 设函数 f x的定义域为 D 如果对于任意的 1 xD 存在唯一的 2 xD 使 12 f xf x c c 为常数 成立 则称函数 yf x 在 D 上 与常数 c 关联 现有函数 2yx tanyx 2 lo
4、gyx 1 0 0 0 x yx x 其中满足在其定义 域上 与常数 4 关联 的所有函数是 A B C D 二二 填空题填空题 本大题共本大题共 7 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 35 分分 把答案填在把答案填在答题卡答题卡 对应题号后的横对应题号后的横 线上线上 一 选做题 请考生在 9 10 11 三题中任选两题作答 如果全做 则按前两题记分 9 几何证明选讲选做题 如图 已知P是O 外一点 PD为O 的切线 D为切点 割线 PEF 经过圆心O 若12 4 3PFPD 则EFD 的度数为30 10 极坐标系与参数方程选做题 若曲线sincos0a 关于直线 3 4 R对称 则
5、a 1 11 不等式选讲选做题 若不等式34xb 的解集中的整数有且仅有 1 0 则b的取值范围是 1 2 二 必做题 12 6 2 1 x x 展开式中 x3的系数为 20 13 如右图 给出了一个程序框图 其作用 是输入x的值 输出相应的y的值 若要 使输入的x的值与输出的y的值相等 则这样的x的值的集合集合为 0 1 3 14 设向量 a b c 满足 1ab a b 1 2 ac bc 0 60 则c 的最大值等于 2 15 已知 i 为虚数单位 M z z cos 4 m2 i 2 m 2 R N z m 2sin i m R 1 集合 M 中的复数的模的最大值是17 2 若 M N
6、 则 的取值范围是 2 6 16 已知实数 a b c 满足 a b c 6 9 abc abbcca 1 b 5 c 5 的最小值是 15 4 2 下列命题中 0 a 1 1 b 3 3 c 4 全部真命题的序号是 解 1 由条件可知 b c 6 a bc 9 a 6 a a 3 2 因此 b 5 c 5 bc 5 b c 25 a 3 2 5 6 a 25 a2 a 4 2 11515 244 a 开始 y输出 结束 2x x输入 2 yx 5x 23yx 1 y x 1图 是 否 是 否 B F E D C A P 当 a 1 2 时 111121 24 25 1121 4 4 bcb
7、bc c 满足 a b c 故 b 5 c 5 的最大值是 15 4 2 令 f x x a x b x c 则 f x x3 6x2 9x abc f x 3 x 1 x 3 f极小值 f 3 abc f 0 f极大值 f 1 4 abc f 4 结合 y f x 的图象 可知全部真命题的序号是 三三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 75 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 正数数列 n a中 1 3a 1 1 nn aba b 是常数 12 3 n 且 123 1 1 1 aaa 成等差数列 1
8、求 b 的值 2 求数列 n a的前 n 项和 Sn 解 1 由 a1 3 可知 a2 3b 1 a3 3b2 b 1 2 分 因为 123 1 1 1 aaa 成等差数列 所以 2 3b 2 3b2 b 成等差数列 3b2 b 2 2 3b 2 解得 b 2 或 b 1 3 4 分 当 b 1 3 时 a2 0 不符合题意 舍去 故 b 2 6 分 2 由 an 1 2an 1 可知 an 1 1 2 an 1 因此数列 an 1 是首项为 4 公比为 2 的等比数列 11 14221 nn nn aa 9 分 2312 4 12 22224 12 n nn n Snnn 12 分 注 2
9、也可先猜 an 再用数学归纳法证明 猜对给 1 分 用数学归纳法证明正确给 2 分 18 本小题满分 12 分 在如图所示的多面体中 已知正方形 ABCD 和直角梯形 BDEF 所在的平面互相垂直 EF BD ED BD AD2 EF ED 1 点 P 为线段 EF 上任意一点 1 求证 CF AP 2 求二面角 B AF E 的余弦值 解法 1 1 平面 BDEF 平面 ABCD ED BD ED 平面 ABCD 2 分 连接 AC 交 BD 于点 O 连接 FO 正方形 ABCD 的边长为2 AC BD 2 在直角梯形 BDEF 中 EF ED 1 O 为 BD 中点 FO ED 且1FO
10、 易求得2 CFAF 3 CEAE 由勾股定理知 CF EF AF EF 由2 CFAF AC 2 可知 CF AF EF AF F CF 平面 AEF 点 P 为线段 EF 上任意一点 AP 平面 AEF CF AP 6 分 P A B C D E O F M N Q z x y B A C D E F P 2 取 AF 中点 M AE 中点 N 连接 BM MN BN AB AF BF 2 BM AF 又 MN EF AF EF MN AF BMN 是二面角EAFB 的平面角 9 分 易求得 2 6 2 3 ABBM 2 1 2 1 EFMN 设 AD 中点为 Q 则 NQ ED NQ B
11、Q 可求得 4 11 222 BQNQBN 在 BMN 中 由余弦定理求得 cos BMN 3 6 二面角EAFB 的余弦值为 3 6 12 分 解法 2 空间向量方法 1 平面 BDEF 平面 ABCD ED BD ED 平面 ABCD 2 分 故可按如图的方式建立空间直角坐标系 求得各占的坐标如下 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 E 0 0 1 F 2 2 2 2 1 P p p 1 0 p 2 2 22 1 2 1 22 CFAPpp 4 分 22 2 10 22 CFAPpp CF AP 6 分 2 设平面 BAF 的法向量为 111 nxy z 平面 AFE 的法向量
12、为 222 mxyz 求得 22 0 2 0 1 22 ABAF 1 111 20 0 22 00 22 y n AB n AFxyz 可取 2 0 1 n 8 分 求得 22 2 0 1 0 22 AEEF 22 22 20 0 22 00 22 xz n AE n EFxy 可取 1 1 2 m 10 分 2 26 cos 3 34 n m n m nm 11 分 易知 二面角 B AF E 为钝角 故二面角 B AF E 的余弦值 6 3 12 分 19 本小题满分 12 分 已知一颗均匀的立方体骰子的六个面分别标有数字 1 2 3 4 5 6 连续抛掷该骰 子 设各次抛掷相互独立 每次
13、抛掷 每面出现的概率相同 令第 i 次得到的点数为 ai 若 存在正整数 k 使 a1 a2 ak 6 则称 k 为你的幸运数字 1 求你的幸运数字为 4 的概率 2 若 k 1 则你的得分为 6 分 若 k 2 则你的得分为 4 分 若 k 3 则你的得 分为 2 分 若抛掷三次还没找到你的幸运数字 则记你的得分为 0 分 求得分 X 的分布列和 数学期望 解解 1 设 连续抛掷 k 次骰子 和为 6 为事件 A k 4 时 则它包含事件A1 A2 其中 A1 四次中恰好两次为 1 两次为 2 A2 四次中恰好一次为 3 三次为 1 2 分 A1 A2为互斥事件 则 k 4 的概率 P A
14、P A1 P A2 2434 44 11105 C C 666666648 6 分 2 P X 6 1 6 P X 4 5 36 P X 2 5 108 P X 0 15535 1 63610854 的分布列分 X 6 4 2 0 P 1 6 5 36 5 108 35 54 EX 6 1 6 4 5 36 2 5 108 0 35 54 89 54 12 分 20 本小题满分 13 分 根据长沙市建设大河西的规划 市政府拟在咸嘉湖建立西湖生态文化公园 如图是某个设计 院提交的一个方案 此方案利用湖中半岛 B 建一条长为32km的观光带 AB 同时建一条连 接观光带和湖岸的长为 2km的观光游
15、廊 BC 且 BC 与湖岸 MN 湖岸可看作是直线 的夹 角为 60 BA 与 BC 的夹角为 150 并在湖岸上的 D 处建一个观光亭 设 CD xkm 1 x 4 1 用 x 分别表示 tan BDC 和 tan ADM 2 试确定观光亭 D 的位置 使得在观光亭 D 处观赏 来源 学 科 网 Z X X K 观光带 AB 的视觉效果最佳 即 ADB 最大 A B C D 湖岸 60 150 湖 面 观光带 观光游廊 湖 面 M N 10 分 解解 1 设湖岸线为 l 过点 A B 分别作l的垂线 垂足分别为 E F 延长 AB 交l于点 G 因为 BC 2 BCF 60 则sin603B
16、FBC cos601CFBC 因为 CD x 1 则 DF CD CF x 1 所以 3 tan 1 BF BDC DFx 3 分 因为 ABC 150 则 CBG 30 又 BCF 60 则 BGC 30 所以2 3 sin30 BF BG 因为 AB 2 3 则 AG AB BG 4 3 所以 AE AGsin30 2 3 GE AGcos30 6 又 GC BC 2 则 CE GE GC 4 因为 CD x 4 则 DE CE CD 4 x 所以 2 3 tan 4 AE ADM DEx 6 分 2 设 ADB 则 2 32 3 3 2 14 tantan 14 51032 3 1 1 4 x xx BDFADEx xx xx 8 分 令 tan f x 2 3 2 14 510 x x xx 则 法 1 2 2 2222 3 420 3 510 2 25 510 510 xxxxxx fx xxxx 10 分 由 0fx 知22 6 22 6 1 4 xx 舍 或 1 x0 f x 为增函数 22 6 x 4 时 f x 0 都有 ln 1 x a x0 时 f x 0 求得
