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1、江苏省淮安市2020届高三数学上学期期中联考试题 理（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集2，3，4，集合3，则_2. 已知向量，且，则实数m的值是_3. 函数的定义域为_4. 已知单位向量的夹角为，则的值是_5. 已知等比数列满足，则该数列的前5项和为_6. “”是“”的_条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一7. 设函数为常数，且，的部分图象如图所示，则的值为_8. 在中，如果sinA：sinB：3：4，那么_9. 已知函数，则不等式的解集为_10. 已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，则的值为_11. 如图，在梯形ABCD中，若，则
2、_12. 在中，则_13. 已知正项等比数列的前n项和为若，则取得最小值时，的值为_14. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 二、解答题（本大题共10小题）15. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足求角A的大小；若，求的面积16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，且，其中O为坐标原点若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；若，向量，求的最小值及对应的x值17. 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC
3、内，落点记为设弧度，小球从A到F所需时间为T试将T表示为的函数，并写出定义域；当满足什么条件时，时间T最短18. 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数t，使得判断是否属于集合M，并说明理由；若属于集合M，求实数a的取值范围；若，求证：对任意实数b，都有19. 已知函数，当时，求曲线在处的切线方程；当时，求函数的最小值；已知，且任意有，求实数a的取值范围20. 给定数列，若满足且，对于任意的n，都有，则称数列为“指数型数列”已知数列，的通项公式分别为，试判断，是不是“指数型数列”；若数列满足：，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；若数列是“指数型数列”
4、，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列21. 已知矩阵，求22. 已知矩阵，向量，计算23. 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面ABCD，且，M是PB的中点求直线AC与PB所成角的余弦值；求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值24. 直三棱柱中，若，求直线与平面所成角的正弦值；若二面角的大小为，求实数的值答案和解析1.【答案】2，4，【解析】解：3，则2，4，故答案为：2，4，根据集合交集，并集定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键2.【答案】1【解析】解：；故答案为：1根据即可得出，从而求出m的值考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算
5、3.【答案】【解析】解：依题意，解得，所以的定义域为，故答案为：根据真数和分母及偶次根式被开方数的要求列不等式求解即可本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题4.【答案】【解析】解：单位向量的夹角为，则故答案为：直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力5.【答案】31【解析】解：设等比数列的公比为q，联立解得，数列的前5项的和为故答案为：31由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题6.【答案】充要【解析】解：由，利用指数函
6、数的单调性可得，反之，由，可得“”是“”的充要条件故答案为：充要由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题7.【答案】【解析】解：根据函数为常数，且，的部分图象，可得，再根据五点法作图可得，故答案为：先由周期求出，再由五点法作图求出的值本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题8.【答案】【解析】解：sinB：3：4，由正弦定理可得：a：b：3：4，不妨设，则，故答案为：由正弦定理可得a：b：3：4，不妨设，则由余弦定理可求cosC，结合范围，利用同角三角函数关系式即可求值本题考查正余弦定理的应用
7、，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题9.【答案】【解析】解：，由得，或，解得，的解集为故答案为：可由得出，从而得到或，解不等式组即可得出原不等式的解集本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题由题意令求得，且的周期为4，再计算的值【解答】解：由，令，得；又为偶函数，；，的周期为4；又，故答案为411.【答案】12【解析】解：因为，所以，因为，所以上式化简得：，即，所以故答案为：12因为，根据向量变换得到，代入求出即可
8、考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题12.【答案】【解析】解：由，利用正弦定理可得，由，可得，由可得，由，两式平方相加可得，所以或，由，知应舍去，所以，代入式可得，由三角形内角和定理可得，可得，所以故答案为：由已知利用正弦定理可得，进而可得，可求，从而求得B的值，进而可求A，C，的值，利用两角和的正切函数公式即可求解本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题13.【答案】【解析】解：依题意，因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以当取得最小值时，即，所以，所以故
9、填：因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以当取得最小值时，即，所以，即可得到本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等属于中档题14.【答案】【解析】【分析】推导出，在上单调递减，上单调递增，且，的函数图象开口向下，对称轴为，利用数形结合法求出不等式的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a的取值范围本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题【解答】解：，故当时，当时，在上单调递减，上单调递增，且又的函数图象开口向下，对称轴为，要使不等式的解集中恰有两
10、个整数，其图象如下：不等式的解集中恰有两个整数是1，2，无解，不等式的解集中恰有两个整数是2，3，解得实数a的取值范围是，故答案为：，15.【答案】本题满分为12分解：，可得：，由余弦定理可得：，又，由及正弦定理可得：，由余弦定理可得：，解得：，【解析】由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得A的值由及正弦定理可得，又，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.【答案】解：设，由题易知，所以所以，所以当时，最小，为由题意，得x，sin，sin，则xcos，因为
11、，所以，所以当，即时，取得最大值1，所以的最小值为，此时【解析】设，利用二次函数的性质求得它的最小值由题意得，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17.【答案】解：连接CO并延长交半圆于M，则，故，同理可得，过O作于G，则，又，令可得，解得或舍设，则当时，当时，当，取得最小值故时，时间T最短【解析】求出小球的运动路程，得出的解析式；利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的的值即可本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题18.【答案】解：当时，方程分 此方程无解，所以不
12、存在实数t，使得，故不属于集合 分 由属于集合M，可得方程有实解有实解有实解，分 若时，上述方程有实解；若时，有，解得，故所求a的取值范围是 分 当时，方程，分 令，则在R上的图象是连续的，当时，故在内至少有一个零点；当时，故在内至少有一个零点；故对任意的实数b，在R上都有零点，即方程总有解，所以对任意实数b，都有分【解析】利用，通过推出方程无解，说明不属于集合由属于集合M，推出有实解，即有实解，若时，若时，利用判断式求解即可当时，方程，令，则在R上的图象是连续的，当时，当时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力
13、19.【答案】解：当时，由，得所以在处的切线方程为即当时，得，因为 0/，所以在单调递增，所以当时，得，因为，所以在单调递减，所以当时，由知：函数在单调递减，单调递增，所以综上，当，；当时，；当时，当，且任意有，即对任意有设，则，设，因为，所以 0/，所以在单调递增，所以，即，1当即时，所以恒成立，所以在单调递增，此时，满足题意2当即时，因为 0/，且在单调递增，所以存在唯一的，使得，因此当时；当时 0/；所以在单调递减，单调递增所以，不满足题意综上，【解析】当时，由，得由此利用导数的几何意义能求出在处的切线方程当时，得，由 0/，得到当时，得，由，得到当时，由此能求出函数的最小值当，且任意有，即对任意有设，则，设，则 0/，由此利用导数性质能求出结果本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的
