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1、第 1 页 共 8 页 湖南省东部六校 2016 届高三联考 文科数学试题及答案文科数学试题及答案 总分 150 分 时量 120 分钟 2015 年 12 月 8 日 由由 株洲市二中文科数学组 命题命题 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求目要求 1 已知集合 则 M N C 2 1 0 1 M 1 24 2 x NxxZ A B C D 2 1 0 1 2 M 1 0 1 2 M 1 0 1 M 0 1 M 2 已知 i 是虚数单位 设复数
2、 z1 1 i z2 1 2i 则在复平面内对应的点在 D 1 2 z z A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 函数 B lgyx A 是偶函数 在区间 上单调递增 B 是偶函数 在区间上单调递减 0 0 C 是奇函数 在区间 上单调递增 D 是奇函数 在区间上单调递减 0 0 4 设向量 若 则 B sin 2 1 cos ba ba 4 tan A B C 1 D 0 3 1 3 1 5 将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍 纵坐标不变 所得函数在sin 6 yx 1 2 下面哪个区间单调递增 A A B B D 3 6 2 2 3 3 2 63 6 已知 n S是公
3、差不为 0 的等差数列 n a的前n项和 且 421 SSS成等比数列 则 1 32 a aa 等于 C A 4 B 6 C 8 D 10 第 2 页 共 8 页 7 已知椭圆的中心在原点 离心率 且它的一个焦点与抛物线的焦点重合 则此椭 1 2 e 2 4yx 圆方程为 A A B C D 22 1 43 xy 22 1 86 xy 2 2 1 2 x y 2 2 1 4 x y 8 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的四个面的面积中 最大的面积是 C A 4 3 B 8 3 C 4 7 D 8 9 实数 x y 满足 a 1 且的最大值是最小值的 4 倍 则 a 的值是 B 2 xa yx
4、 xy 2zxy A B C D 2 11 1 4 1 2 11 2 10 执行如图所示的程序框图 若输入 的值为 8 则输出的值为 B nS A 4 B 8 C 10 D 12 11 已知QP 是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点 分别位于第一象限和第四象限 且P点 的纵坐标为 5 4 Q点的横坐标为 13 5 则 POQcos D 来源 Zxxk Com A B C D 33 65 63 65 63 65 33 65 12 已知函数 若函数恰有 6 个零点 则 2 31 0 41 0 xx f x xxx 2 g xfxaxf x 的取值范围是 C a A B C D 0 3 1 3 2 3
5、 0 2 第 8 题图 第 10 题图 第 3 页 共 8 页 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 把答案填在答题卡中对应题号后横线上 把答案填在答题卡中对应题号后横线上 13 如图是某学校一名篮球运动员在 10 场比赛中所得分数的茎叶图 则该运动员在这 10 场比赛 中得分的中位数为 15 14 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程是10 xy 则 a 1 15 已知双曲线的左 右焦点分 别为 抛物线的 22 1 22 1 0 0 xy Cab ab 1 F 2 F 2 C 顶点在原点 它的准线过双曲线的焦点
6、若双曲线与抛物线的交点满足 1 C 1 C 2 CP 212 PFFF 则双曲线的离心率为 1 C21 16 在中 分别为角的对边 且满足ABC a b c A B C 2 7 4coscos2 22 A BC 若 则的面积的最大值是 2a ABC 3 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 总计小题 总计 70 分 分 17 本小题满分 12 分 2014 年 双节 期间 高速公路车辆较多 某调查公司在一服务区从七 座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询 问调查 将他们在某段高速公路的车速 km h 分成六段 后得到如图的频率分布直方图
7、 60 65 65 70 70 75 75 80 80 85 85 90 1 求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值 2 若从车速在的车辆中任抽取 2 辆 求车速在的车辆恰有一辆的概率 60 70 65 70 0 5 8 9 1 2 4 6 6 9 2 1 4 第 4 页 共 8 页 解 1 众数的估计值为最高的矩形的中点 即众数的估计值等于 77 5 3 分 设图中虚线所对应的车速为 则中位数的估计值为 x 解得 0 01 50 02 50 04 50 06750 5x 77 5x 即中位数的估计值为 77 5 6 分 2 从图中可知 车速在的车辆数为 辆 60 65 1 0 01
8、 5 402m 车速在的车辆数为 辆 8 分 65 70 2 0 02 5 404m 设车速在的车辆设为 车速在的车辆设为 则所有基本事件有 60 65 a b 65 70 c d e f a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共 15 种 其中车速在的车辆恰有一辆的事件有 65 70 共 8 种 a ca da ea fb cb db eb f 所以 车速在的车辆恰有一辆的概率为 12 分 65 70 8 15 P 18 本小题满分 12 分 已知等比数列 an 满足 且 是的等差中 132 23aaa 3 2
9、a 24 aa 项 求数列 an 的通项公式 若 Sn b1 b2 bn 求使 Sn 2n 1 47 0 成立的 n 的最小值 2 1 log nn n ba a 解 1 设等比数列 an 的公比为 q 依题意 有 即 132 243 23 2 2 aaa aaa 2 11 32 11 2 3 1 24 2 aqa q a qqa q 由 1 得q2 3q 2 0 解得q 1 或q 2 4 分 当 q 1 时 不合题意 舍去 当 q 2 时 代入 2 得 a1 2 所以 an 2 2n 1 2n 故所求数列的通项公式 6 分 n a Nna n n 2 2 8 分n a ab n n n n
10、nn 2 2 1 log2 1 log 22 所以 Sn 2 1 22 2 23 3 2n n 第 5 页 共 8 页 2 22 23 2n 1 2 3 n 2n 1 2 n n2 10 分 2 1 2n 1 2 n 1 n 2 1 2 1 2 因为 Sn 2n 1 47 0 所以 2n 1 2 n n2 2n 1 470 解得 n 9 或 n 10 因为n N N 故使Sn 2n 1 47 0 成立的正整数n的最小值为 10 12 分 19 本小题满分 12 分 如图 在直角梯形ABCD中 CDAB ADAB 且 1 2 1 CDADAB 现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF 然后沿边AD将
11、矩形 ADEF翻折 使平面ADEF与平面ABCD垂直 1 求证 BDEBC平面 2 若点D到平面的距离为 求三棱锥 F BDE 的体积 BEC 6 3 解 1 证明 在矩形 ADEF 中 EDAD 因为面 面 所以 面 所以 又在直角梯形 ABCD 中 AB AD 1 CD 2 所以 BC 45 BDC 2 在 中 2 2 所以 BD2 BC2 CD2 所以 6 分 所以 面 2 由 1 得 面 面 作 于 H 则 面 所以 6 3 DH 在 中 BDE BD DEBE DH 即 解得 9 分 2 6 2 2 3 DEDE 1DE 所以 12 分 111 1 326 F BDEB EFD VV
12、 F E DC BA A B C D F E A B C D F E H 第 6 页 共 8 页 20 本小题满分 12 分 已知直线 半径为的圆与 相切 圆心在轴01034 yxl2ClCx 上且在直线 的右上方l 1 求圆的方程 C 2 过点任意作一直线与圆交于两点 在轴上方 问在轴正半轴上是否 0 1 MCBA Axx 存在定点 使得轴总平分 若存在 请求出点的坐标 若不存在 请说明理由 NxANB N 解 1 设圆心 则或 舍 0 aC 2 5 a02 5 104 a a 5 a 所以圆 6 分 4 22 yxC 2 当直线轴 则轴平分xAB xANB 当直线斜率存在时设直线方程为 A
13、BAB 1 xky 0 tN 2211 yxByxA 042 1 1 4 2222 22 kxkxk xky yx 1 4 1 2 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 若轴平分 则xANB 0 1 1 0 2 2 1 1 2 2 1 1 tx xk tx xk tx y tx y kk BNAN 402 1 1 2 1 4 2 02 1 2 2 2 2 2 2121 tt k tk k k txxtxx 当点 能使得总成立 12 分 4 0 NANMBNM 第 7 页 共 8 页 21 本小题满分 12 分 设函数 2 2lnf xxaxx Ra 3 x ex g x e
14、若函数在定义域内单调递减 求实数的取值范围 f xa 若对任意 都有唯一的 使得成立 求实数 ex 0 4 0 xee 2 00 2g xf xx 的取值范围 a 解 1 由题 在恒成立 2 41xax fx x 2 41 0 xax fx x 0 即 在恒成立 2 410 xax 0 则 得 3 分 2 44 10a 44a 或故得 综上 5 分 2 44 10 0 8 a a 4a 4a 2 在上单调递增 在上单调递减 1 1 x g xexg x 1 0 e 1 且的值域为 7 分 2 03 1 4 33 e ggg eeg x 4 3 记 2 2ln h xf xxaxx mg x 原
15、问题等价于 存在唯一的 使得成立 4 3 m eex 4 0 mxh 0 eex x ax x axh 11 4 当时 恒成立 单调递减 由 e a 1 0 xh xh 44 44 max aeehxh 解得 8 分 31 min aeehxh e a 1 0 当时 恒成立 单调递增 不合 4 ea 0 xh xh 44 44 min aeehxh 题意 舍去 9 分 第 8 页 共 8 页 当时 在上单调递减 在上单调递增 4 1 ea e xh a e 1 4 e a 1 且 1 44 44 aeehaeeh 要满足条件则 11 分 e a e ae 41 31 综上所述 的取值范围是 1
16、2 分a e 4 0 22 本小题满分 10 分 已知直线l的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标方程为 1 2 3 2 xmt yt 12cos 2 1 以极点为原点 极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系 求曲线 C 的直角坐标方程 2 若求直线l被曲线 C 截得的弦长为 求 m 的值 2 10 解 1 由曲线 2222 cos2 cossin 1 C 得 222 cos2sin 1 化成普通方程 22 1xy 5 分 2 t为参数 1 2 3 2 xmt yt 把 代入 得 22 13 1 22 mtt 整理 得设其两根为 12 t t 则 1212 4 6ttt t 22 2220tmtm 从而弦长为 2 1212 2 22ttmt tm 解得 10 分 222 12121 2 444 22 2 10ttttt tmm 2m
