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1、高中数学教案 新课标 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 1 课课题题 1 2 31 2 31 2 31 2 3空间几何体的直观图空间几何体的直观图 教学内容 教学内容 空间几何体的直观图 教学目的 教学目的 掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图 教学重点 教学重点 用斜二测画法画空间几何体的直观图 教学难点 教学难点 直观图和三视图的互化 教学过程 教学过程 一 课前复习一 课前复习 空间几何体的直观图 只介绍了最常用的 直观性好的斜二测画法 用斜二测画法画直观图 关键是掌 握水平放置的平面图形直观图的画法 这是画空间几何体
2、直观图的基础 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置 因为多边形顶点的位置一旦确定 依次 连接这些顶点就可画出多边形来 直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法 而在平面上确定点的位置 可以借助于平面直角坐标系 确定了点的坐标就可以确定点的位置 因此 画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法 值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系 二 讲解新课二 讲解新课 提出问题提出问题 画几何体时 画得既富有立体感 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 用 直观图 正投影主要用于绘制三视图 在工程制图中被广泛采用 但三视图的直观性较差 因此
3、绘制物体的直 观图一般采用斜投影或中心投影 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象 但作图方法比较复杂 又不易度量 因此在立体几何中 通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图 把空间图形画在纸上 是用一个平面图形来表示空间图形 这样表达的不是空间图形的真实形状 而 是它的直观图 引入新课引入新课 知识点知识点 1 1 1 1直观图直观图 按平行投影法 把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感 又能表达出图形各主要部分的位置关 系和度量关系 主要是长 宽 高三个方面的 我们把这种投影图叫做直观图 知识点知识点 2 2 2 2轴测投影法轴测投影法 用平行投影法把物体连同直角坐标系一起投影到一个投影
4、面上所得的投影图 叫做轴测投影图 简称 轴测图 这种投影画法称为轴测投影法 轴测投影按投影线与轴测投影面斜交或垂直 可分为斜轴测投影和正轴测投影 按三轴方向的变形系数 的大小关系 又可分为等轴测投影 三轴方向的变形系数都相等 二轴测投影 有两轴方向的变形系数 相等 和三轴测投影 三轴方向的变形系数都不相等 事实上 轴测投影的种类很多 但在实际应用中 常用的是斜二轴测投影 即斜二测画法 和正等轴测投影 第一种直观图的画法 斜二轴测投影 简称斜二测 就是投影线和投影面斜交 有两轴方向的变形系 数相等的轴测投影 第二种直观图的画法 正等轴测投影 就是投影线和投影面垂直 各轴的变形系数都相等的轴测投
5、影 斜二测与正等测各有优点 用斜二测画出的直观图能使一个面 直立于我们面前的那个面 保持原来 的形状和大小 用正等测画出来的直观图可以将三个面均匀地表达出来 三 典例解析三 典例解析 例例 1 1 1 1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 解 解 1 如图 1 1 在正六边形 ABCDEF 中 取 AD 所在直线为x轴 对称轴 MN 所在直线为y 高中数学教案 新课标 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 2 轴 两轴相交于点 O 在图 1 2 中 画相应的x 轴与y 轴 两轴相交于点 O 使 x O y 45 2 在图 1 2 中 以 O
6、为中点 在x 轴上取 A D AD 在y 轴上取 M N 2 1 MN 以点 N 为中点画 B C 平行于x 轴 并且等于 BC 再以 M 为中点画 E F 平行于x 轴 并且等于EF 3 连接 A B C D D E F A 并擦去辅助 线x 轴和y 轴 便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的 直观图 A B C D E F 图 1 3 上述画直观图的方法称为斜二测画法 其一般步 骤为 1 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点 O 画直观图时 把它们画成对应的x 轴与 y 轴 两轴交于点 O 且使 x O y 45 或 135 它们确定的平面表示水平面 2 已知图形中平行于x轴
7、或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的 线段 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的 一半 例例 2 2 2 2用斜二测画法画长 宽 高分别是 4cm 3cm 2cm的长方体 ABCD A B C D 的直观图 解 解 1 画轴 如图 2 画x轴 y轴 z轴 三轴相交于点 O 使 xOy 45 xOz 90 2 画底面 以点 O 为中点 在x轴上取线段 MN 使 MN 4cm 在y轴上取线段 PQ 使 PQ 2 3 cm 分别过点 M 和 N 作y轴的平行线 过点 P 和 Q 作x轴的平行线 设它们的 交点分别为 A B C D
8、 四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD 3 画侧棱 过 A B C D 各点分别作z轴的平行线 并在这些平行线上分别截取 2cm长的线段 AA BB CC DD 4 成图 顺次连接 A B C D 并加以整理 去掉辅助线 将被遮挡的部分改为虚线 就得到长 方体的直观图 指出 指出 1 画几何体的直观图时还要建立三条轴 实际是建立了空间直角坐标系 而画水平放置平面 图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系 2 画几何体的直观图的步骤是 1 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴 Ox Oy 再作 Oz轴 使 xOy 90 yOz 90 2 画出与 Ox Oy Oz对应的轴 O
9、x O y O z 使 x O y 45 y O z 90 x O y 所 确定的 平面表示水平平面 3 已知图形中 平行于x轴 y轴和z轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴 y 轴和z 轴的线 段 并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 4 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度为原 来的一半 5 擦除作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图 3 画几何体的直观图时 如果不作严格要求 图形尺寸可以适当选取 用斜二测画法画图的角度也 可以自定 但是要求图形具有一定的立体感 4 斜二测画法的作图技巧 1 在已
10、知图中建立直角坐标系 理论上在任何位置建立坐标系都行 但实际作图时 一般建立特殊 的直角坐标系 尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有 垂直正交的直线为坐标轴等 高中数学教案 新课标 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 3 2 在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x 轴或y 轴平行 原图中不与坐标轴平行的线 段可以先画出线段的端点再连线 画端点时作坐标轴的平行线为辅助线 原图中的曲线段可以通过取一些关 键点 利用上述方法作出直观图中的相应点后 用平滑的曲线连接而画出 3 在画一个水平放置的平面时
11、由于平面是无限延展的 通常我们只画出它的一部分表示平面 一 般地 用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图 例例 3 3 3 3如图 已知几何体的三视图 用斜二测画法画出它的直观图 解 解 由几何体的三视图知道 这个几何体是一个简单组合体 它的下 部是一个圆柱 上部是一个圆锥 并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合 我们可以先画出下部的圆柱 再画出上部的圆锥 画法 1 画轴 如图 1 画x轴 y轴 z轴 使 xOy 45 xOz 90 2 画圆柱的两底面 仿照例 2 画法 画出底面 O 在z轴上截取 O 使 OO 等于三视图中相应高度 过 O 作 Ox的平行线 O x Oy的平行 线 O y 利用
12、O x 与 O y 画出底面 O 与画 O 一样 3 画圆锥的顶点 在 Oz上截取点 P 使 PO 等于三视图 中相应的高度 4 成图 连接 PA PB A A B B 整理得到三视图表示 的几何体的直观图 指出 指出 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系 我 们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图 同时 也能够由空间几何体的直观 图得到它的三视图 例例 4 4 4 4如图所示 已知几何体的三视图 用斜二测画法画出它的直观图 解 解 由这个三视图可以看出 该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱 的上底面为底面的四棱锥拼接而成 作图步骤是 1 作出长方体的直观图 ABCD A1B1C1D1
13、 如图 1 所示 2 再以上底面 A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系 如 图 2 所示 在z 上取点 V 使得 V O 的长度为棱锥的高 连接 V A1 V B1 V C1 V D1得到四棱锥的直观图 如图 2 3 擦去辅助线和坐标轴 遮住部分用虚线表示 得到几何体的直观图 如图 3 四 课堂练习四 课堂练习 1 1 1 1 如图所示 梯形 ABCD 中 AB CD AB 4cm CD 2cm DAB 30 AD 3cm 试画出它的直 观图 解 解 作图步骤是 1 在梯形 ABCD 中 以边 AB 所在的直线为x轴 点 A 为原点 建立平 面直角坐标系xOy 如图所示 画出对
14、应的x 轴 y 轴 使 x A y 45 2 如图所示 过 D 点作 DE x轴 垂足为 E 在x 轴上取 A B AB 4cm A E AE 3 2 3 cm 2 598cm 过 E 作 E D y 轴 使 E D ED 2 1 再过点 D 高中数学教案 新课标 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 第一章 空间几何体 1 2 第 2 课时 4 作 D C x 轴 且使 D C CD 2cm 3 连接 A D B C C D 并擦去x 轴与y 轴及其他辅助线 如图 则四边形 A B C D 就是所求作的 直观图 2 2 2 2 如图所示是一个奖杯的三视图 你能想象出它的几何结构 并画出它
15、的直观图吗 解 解 奖杯的几何结构是最上面是一个球 中间是一个四棱柱 最 下面是一个棱台拼接成的简单组合体 其直观图略 五 备选习题五 备选习题 1 1 1 1 关于 斜二测画法 下列说法不正确的是 A 原图形中平行于x轴的线段 其对应线段平行于x 轴 长度不变 B 原图形中平行于y轴的线段 其对应线段平行于y 轴 长度变为 原来的 2 1 C 在画与直角坐标系xOy对应的x O y 时 x O y 必须是 45 D 在画直观图时 由于选轴的不同 所得的直观图可能不同 解 解 在画与直角坐标系xOy对应的x O y 时 x O y 也可以是 135 所以 C 不正确 2 2 2 2 若一个三角
16、形 采用斜二测画法作出其直观图 则其直观图的面积是原来三角形面积的 A 4 2 倍B 2 倍C 2 2 倍D 2倍 解解 直观图也是三角形 并且有一条公共边 但是这条公共边上的高发生变化 直观图中公共边上的高 是原三角形中公共边上高的 4 2 则直观图的面积是原来三角形面积的 4 2 倍 3 3 3 3 已知一个正方形的直观图是一个平行四边形 其中有一边长为 4 则此正方形的面积是 A 16B 64C 16 或 64D 都不对 解解 根据直观图的画法 平行于x轴的线段长度不变 平行于y轴的线段变为原来的一半 于是长为 4 的边如果平行于x轴 则正方形边长为 4 面积为 16 边长为 4 的边如果平行于y轴 则正方形边长 为 8 面积是 64 4 4 4 4 一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为 2 的正三角形 则原三角形的面积是 A 62B 64C 3D 都不对 解解 根据斜二测画法的规则 正三角形的边长是原三角形的底边长 原三角形的高是正三角形高的22 倍 而正三角形的高是3 所以原三角形的高为62 于是其面积为 2 1 2 62 62 5 5 5 5 一个水平放置的平面图形
