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1、2019 2020 年上学期高二年级期中考试数学试卷 适用班级 22 班 28 班 命题人 郑金秀考试时间 120 分钟满分 150 分 一 选择题 12 小题 每小题 5 分 1 若 M 2a2 3a 5 N a2 a 4 则 M 与 N 的大小关系为 A A M NB M NC M ND M N 2 某地甲 乙 丙三所学校举行高三联考 三所学校参加联考的人数分别为 300 400 500 现为了调查联考数学学科的成绩 采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为 120 的样本 那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为 B A 30B 40C 50D 80 3 若实数 x y 满足 则 z
2、y 2x 的最小值为 B A 2B 2C 1D 1 4 等差数列 an 中 a1 1 a3 a2 2 下列结论错误的是 C A a1 a2 a5成等比数列B S9 81 C a7 14D a4 7 5 不等式 h h 的解集为 D A 1 2 B h h h h C h h h hD h 6 已知 ABC 的三个内角 A B C 所对边长分别为 a b c 满足 a c a c b a b 则 C C A B C D 7 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2 3 3 7 x y 12 13 6 18 4 20 且总体 的中位数为 10 5 若要使该总体的标准差最小 则 4x 2y 的值是 C
3、 A 61B 62C 63D 64 8 如图所示的算法被称为 趋 1 数字器 它输出的数字都是分数 且随着运算次数的增加 输出的分数会越来越接近于 1 该程序若想输出的结果为 则判断框中应填入的条 件是 A A i 2011 B i 2010 C i 2009 D i 2008 9 若不等式 ax2 ax 1 0 的解集为实数集 R 则实数 a 的取值范围为 D A 0 a 4B 4 a 0C 4 a 0D 4 a 0 10 对于问题 已知关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 2 5 解关于 x 的不等式 cx2 bx a 0 给出如下一种解法 由 ax2 bx c 0 的解集为
4、 2 5 得 t h 的解集为 即关于 x 的不等式 cx2 bx a 0 的解集为 类比上述解法 若关于 x 的不等式 t 的解集为 1 3 则关于 x 的不等式 t 的解集为 A A 3 27 B 3 9 C 1 27 D 1 9 11 在边长为 2 的正方形 ABCD 内任取一点 P 使得 APB 的概率为 A A 1h B C D 1h 12 在 1 和 19 之间插入 n 个数 使这 n 2 个数成等差数列 若这 n 个数中第一个为 a 第 n 个为 b 当 t 取最小值时 n 的值是 B A 4B 5C 6D 7 二 填空题 4 小题 每小题 5 分 13 已知甲 乙两组数据如边的
5、茎叶图所示 若它们的中位数相 同 平均数也相同 则 y x 14 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军 若比赛为 三局两胜 制 甲在每局比赛中胜的概 率为 且各局比赛结果相互独立 则在甲获得冠军的条件下 比赛进行了 3 局的概率为 15 为了解某团战士的体重情况 采用随机抽样的方法 将样本体重数据整理后 画出了如 图所示的频率分布直方图 己知图中从左到右前三个小组频率之比为 1 2 3 第二小组 频数为 12 则全团共抽取人数为48 16 在 ABC 中 已知角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a x b 3 B 60 若 ABC 有两解 则 x 的取值范围是 三 解答题 17 题 10
6、分 18 22 题每题 12 分 17 根据教育部高考改革指导意见 广东省从 2021 年正式实施 3 1 2 新的高考考试方案 为 尽快了解学生的选科需求 及时调整学校人力资源配备 某校从高一学生中抽样调查了 100 名同学 在模拟分科选择中 一半同学 其中男生 38 人 选择了物理 另一半 其 中男生 14 人 选择了历史 请完成以下 2 2 列联表 并判断能否有 99 9 的把握说选 科与性别有关 参考公式 其中 n a b c d 为样本容量 p K2 k 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k2 0722 7063 8415 0246 6357 8791
7、0 828 选物理选历史总计 男生 女生 总计 分析 由题意填写 2 2 列联表 根据列联表中的数据计算 K2的观测值 k 结合临界值 表得结论 解答 解 列出 2 2 列联表如下 选物理选历史总计 男生381452 女生123648 总计5050100 提出假设 H0 选科与性别没有关系 根据列联表中的数据计算 K2的观测值 k 当 H0成立时 k 10 828 有 99 9 的把握说选科与性别有关 18 22 甲与乙午觉醒来后 发现自己的手表因故停止转动 于是他们想借助收音机 利用 电台整点报时确认时间 1 求甲等待的时间不多于 10 分钟的概率 2 求甲比乙多等待 10 分钟以上的概率
8、分析 1 电台每隔 1 小时报时一次 甲在 0 60 之间任何一个时刻打开收音机是 等可能的 设事件 A 为 甲等待的时间不多于 10 分钟 则事件 A 恰好是打开收音机的 时刻位于 50 60 时间段内 由测度比是长度比求解 2 由于甲 乙两人的起床时间是任意的 设甲需要等待的时间为 x 乙需要等待的时 间为 y 10 分钟为一个长度单位 分别写出对应的基本事件空间为 x y 与甲比乙多等待 10 分钟以上对应的事件为 M x y h 画出图形 再由 测度比是面积比求解 解答 解 1 电台每隔 1 小时报时一次 甲在 0 60 之间任何一个时刻打开收 音机是等可能的 他在哪个时间段打开收音机
9、的概率只与该时间段的长度有关 而与该时间段的位置无 关 符合几何概型的条件 设事件 A 为 甲等待的时间不多于 10 分钟 则事件 A 恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内 因此 由几何概型的概率公式可得 P A 甲等待的时间不多于 10 分钟的概率为 2 由于甲 乙两人的起床时间是任意的 所求事件是一个与两个变量相关的几何概型 且为面积型 设甲需要等待的时间为 x 乙需要等待的时间为 y 10 分钟为一个长度单位 则由已知可得 对应的基本事件空间为 x y 甲比乙多等待 10 分钟以上对应的事件为 M x y h 在平面直角坐标系中 作出两不等式组表示的平面区域如图 正方形面积为
10、 36 阴影部分的面积为 甲比乙多等待 10 分钟以上的概率为 19 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c sinB cosB 1 1 求角 B 2 若 b 求 ABC 周长的取值范围 分析 1 由正弦定理化简已知可得 ali r 再根据特殊角的三角函数值即 可求 B 的值 2 利用及余弦定理 基本不等式可得 a c 2 4 再根据三角形两边之和大于第三 边 从而可求三角形周长的范围 解答 解 1 sinB cosB 1 ali r ali r B 0 B 2 由余弦定理 有 b2 a2 c2 2accosB a c 2 ac h h h b a c 2 4 a c 2
11、又 a c b 周长 C a b c h 20 已知不等式 ax2 3x 6 4 的解集为 x x 1 或 x b 1 求 a b 2 解不等式 ax2 ac b x bc 0 分析 1 根据不等式 ax2 3x 6 4 的解集 利用根与系数的关系 求得 a b 的值 2 把不等式 ax2 ac b x bc 0 化为 x2 2 c x 2c 0 讨论 c 的取值 求出对应不等式的解集 解答 解 1 因为不等式 ax2 3x 6 4 的解集为 x x 1 或 x b 所以 1 和 b 是方程 ax2 3x 2 0 的两个实数根 且 b 1 由根与系数的关系 得 t t 解得 a 1 b 2 2
12、 所求不等式 ax2 ac b x bc 0 化为 x2 2 c x 2c 0 即 x 2 x c 0 当 c 2 时 不等式 x 2 x c 0 的解集为 x 2 x c 当 c 2 时 不等式 x 2 x c 0 的解集为 x c x 2 当 c 2 时 不等式 x 2 x c 0 的解集为 21 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用 需了解年研发费用 x 单位 千万元 对 年销售量 y 单位 千万件 的影响 统计了近 10 年投入的年研发费用 xi与年销售量 yi i 1 2 10 的数据 得到散点图如图所示 1 利用散点图判断 y a bx 和 y c xd 其中 c d 均为大于
13、 0 的常数 哪一个更适合 作为年销售量 y 和年研发费用 x 的回归方程类型 只要给出判断即可 不必说明理由 2 对数据作出如下处理 令 ui lnxi vi lnyi 得到相关统计量的值如表 根据第 1 问的判断结果及表中数据 求 y 关于 x 的回归方程 viui ui vi ui 2 151528 2556 5 附 对于一组数据 u1 v1 u2 v2 un vn 其回归直线 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为 分析 1 直接由散点图可知选择回归类型 y c xd更合适 2 对 y c xd两边取对数 得 lny lnc dlnx 即 v lnc du 令 lnc m 利用表中数 据求
14、得 与 的值 则回归方程可求 进一步得到年销售量 y 与年研发费用 x 的回归方程 3 由 2 知 z x 再由导数求最值 解答 解 1 由散点图可知 选择回归类型 y c xd更合适 2 对 y c xd两边取对数 得 lny lnc dlnx 即 v lnc du 由表中数据求得 令 lnc m 则 即 年销售量 y 与年研发费用 x 的回归方程为 22 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an n n N 1 证明数列 an 1 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 记 bn 2n 1 an 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 分析 1 运用数列的递推式 n 1 时
15、 a1 S1 n 2 时 an Sn Sn 1 结合等比 数列的定义和通项公式 即可得到所求 2 求得 bn 2n 1 an 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2n 1 由数列 的分组求和和错位相减法求和 结合等差数列和等比数列的求和公式 化简计算可得所 求和 解答 解 1 证明 Sn 2an n n N 可得 n 1 时 a1 S1 2a1 1 可得 a1 1 n 2 时 an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 化为 an 2an 1 1 即为 an 1 2 an 1 1 可得数列 an 1 是首项和公比均为 2 的等比数列 则 an 1 2n 即 an 2n 1 n N 2 bn 2n 1 an 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2n 1 前 n 项和 Tn 1 2 3 4 5 8 2n 1 2n 1 3 5 2n 1 设 Rn 1 2 3 4 5 8 2n 1 2n 2Rn 1 4 3 8 5 16 2n 1 2n 1 上面两式相减可得 Rn 2 2 4 8 2n 2n 1 2n 1 2 2 h ih h h 2n 1 2n 1 化简可得 Rn 6 2n 3 2n 1 则 Tn 6 2n 3 2n 1h n 1 2n 1 6 2n 3 2 n 1 n2
