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1、江苏省海安高级中学2019届高三数学12月月考试题一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1设全集，若集合，则 . 2已知复数满足，则 . 3执行如图所示的程序框图，输出的s值为 . 4我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 . 5双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 . 6在中，则 7方程的解为 8若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 . 9若，则= . 10已知数列和，其中，
2、的项是互不相等的正整数，若对于任意，数列中的第项等于中的第项，则 .11设函数，若无最大值，则实数的取值范围是 12在锐角中，为边上的一点，与面积分别为2和4，过作于，于，则 13 已知圆O：，定点，过点A的直线l与圆O相较于B，C两点，两点B，C均在x轴上方，若OC平分，则直线l的斜率为 . 14已知正实数a，b满足，则的最小值是 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（1）求证：PEBC；（2）求证
3、：EF平面PCD.16已知函数f(x)=. （1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）讨论f(x)在区间上的单调性. 17在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A（看做一点）的东偏南角方向，300 km的海面P处，并以20km / h的速度向西偏北45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km / h的速度不断增大（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；（2） 城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？18已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（1）求椭圆M的方程；（2）若，求的最大值；（3）
4、设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点共线，求k.19已知数列与满足：，且（1）求的值；（2）设，证明：是等比数列；（3）设证明：20已知函数，（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.2 3 4 5 6 17 28 9 10 211 12 13 14 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤）15【解析】（1），且为的中点，.平面平面，平面平面，平面.面，PEBC.（2）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为平行四边形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.16 【解析】（1）的定义域为.所以, 的最小正周期（2）由,得 设，易知.所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.17 【解析】（1）如图建立直角坐标系， 则城市，当前台风中心，设t小时后台风中心P的坐标为，则，此时台风的半径为，10小时后，km，台风的半径为160km，因为，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. （2）因此，t小时后台风侵袭的范围可视为以为圆心，为半
6、径的圆，若城市A受到台风侵袭，则，即， 解得 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18【解析】（1）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，由消去可得，则，即，设，则，则，易得当时，故的最大值为（3）设，则 ， ，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即.19 【解析】（1）解：由，可得又（2）证明：对任意，得将代入，可得 即又 因此是等比数列.（3）证明：由（2）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n
7、=1，不等式显然成立.所以，对任意20 【解析】（1），所以点坐标为； 又，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为 （2） +0-单调增极大值单调减由， 得； 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍； 时，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； 时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，因为在递增，在递减；所以， 即，即；所以实数的取值范围为 （3），因为，所以，即，令， 则，当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增所以函数在时，取得最小值，最小值为3 因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或因为为正实数，所以 （附加题）21（B）【解析】由题知，1a3b1-1
8、=1-a3-b=-11-1=-111-a=-1，3-b=1，所以a=2，b=2，M=1232.det(M)=1232=12-23=-4，所以M-1=-121234-14.21（C）【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为当时，l的直角坐标方程为，当时，l的直角坐标方程为（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线C截直线l所得线段的中点在C内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线l的斜率22【解析】(1) 因为直线y=n与x=-1垂直，所以MP为点P到直线x=-1的距离.连接PF，因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线，焦点为
9、F(1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E的方程为y2=4x.(2) 由题意，过点M(-1，n)的切线斜率存在，设切线方程为y-n=k(x+1)，联立y=kx+k+n，y2=4x， 得ky2-4y+4k+4n=0，所以1=16-4k(4k+4n)=0，即k2+nk-1=0，(*)因为2=n2+40，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k1，k2，因为k1k2=-1，所以AMB=90，为定值.23【解析】(1) 由题意知P2=2A22A33=，即P2的值为.(2) 先排第n行，则最大数在第n行的概率为nn(n+1)2=2n+1;去掉第n行已经排好的n个数，则余下的n(n+1)2 - n=n(n-1)2个数中最大数在第n-1行的概率为n-1n(n-1)2=;故Pn=2n+123=2n-1(n+1)n3=2n(n+1)!.由于2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+CnnCn0+Cn1+Cn2Cn1+Cn2=Cn+12，所以2n(n+1)!Cn+12(n+1)!，即PnCn+12(n+1)!.13
