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1、天水市一中2015级20172018学年度第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科） 第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知(13i)(2i)43i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为( )A1 B1 Ci Di2如图，已知R是实数集，集合Ax|log(x1)0，Bx|0，则阴影部分表示的集合是( )A0,1 B0,1) C(0,1) D(0,13已知命题p：x(，0)，2x3x；命题q：x，tan xsin x，则下列命题为真命题的是( )Apq Bp(q) C(p)q Dp(q) 4有4位同学参
2、加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A. B. C. D. 5设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于 ( )A. B2 C3 D4 6.设 ab1， ，给出下列三个结论： ； ； ，其中所有的正确结论的序号是.A B. C. D. 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B C D8已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(
3、n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的斜率是( )A4 B3 C2 D19某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为( )A15,60) B(15,60 C12,48) D(12,4810已知P(x，y)为平面区域(a0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z2xy的最大值是( )A1 B3 C2 D6 11设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3，则数列的前n项和Tn( )A B. C D.12过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点(0,2)，M为抛物线上的一个动
4、点，则M到直线l1：5x4y40和l2：x的距离之和的最小值为( )A. B. C. D.第卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第13题21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上) 13双曲线：1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则的实轴长等于_ 14已知(12x)5(1ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_15.已知，则不等式的解集为 16在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总
5、能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2Bcos B1cos Acos C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b2，求ABC的面积的最大值 18(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间0,5，(5,10，(10,15，(15,20，(20,25进行分组，得到如图所示的频率分布直方图(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注
6、：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi(i1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为x1p1x2p2x3p3x4p4x5p5)(2)若网购金额在(15,25的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点从这20个服务网点中任选2个，记表示选到优秀服务网点的个数，求的分布列及数学期望 19(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC60，SA1，AB2，SB，平面SAB底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30. (1)证明：平面SAD平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值 20.(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)
7、的右焦点为F2(2,0)，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)(xa)ln x，g(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy30平行(1)求证：方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小者)，求m(x)的最大值 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)
8、选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线.(1)写出的参数方程；(2)设直线l：3x2y60与的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2xa|.(1)若f(x)b的解集为x|1x2，求实数a、b的值；(2)若a2时，不等式f(x)mf(x2)对一切实数x均成立，求实数m的取值范围 数学(理科)答案1解析：选A.因为13i13i12i13i2i，所以z2i，z的虚部为1，故选A.2解析：选D.由题
9、可知Ax|1x2，Bx|0x，且图中阴影部分表示的是B(RA)x|0x1，故选D.3解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，则綈p是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题，故选C. 4.解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C22种可能；4人全选甲类且两对两错，有C种可能共有C2CC22C44种情况，因而所求概率为P，故选A.5解析：选D.因为M是平行四边形ABCD
10、对角线AC、BD的交点，所以2，2，所以4，故选D.6.【答案】D【解析】由不等式及ab1知，又，所以，正确;由指数函数的图像与性质知正确；由ab1，知，由对数函数的图像与性质知正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。 8解析：选A.设等差数列an的公差为d，因为S22a1d10，S5(a1a5)5(a12d)55，所以d4，所以kPQd4，故选A. 9解析：选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组，解得15x60，故选B.10. 解析：选D.不等式组变形可得，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S(2a2a2)13，解得a1，平移直线y2x，得z2x
11、y在点(2，2)处取得最大值6，故选D.11解析：选C.设an的公差为d，S1a1，S22a1d2a1a1，S43a3a1a1，因为S1，S2，S4成等比数列，所以 2a1，整理得4a12a150，所以a1或a1.当a1时，公差d0不符合题意，舍去；当a1时，公差d1，所以an(n1)(1)n(2n1)，所以，所以其前n项和Tn，故选C.12. 解析：选A.抛物线的焦点为F，准线为x，故直线AB的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2x23px0，所以x1x23p，y1y22p，故线段AB的中点坐标为，又AB的垂直平分线经过点(0,2)，故AB垂直平分线的方程为yx2，故p2，
12、p，x是抛物线的准线，作MCl1于点C，MDl2于点D，如图所示，由抛物线的定义知|MD|MF|，当M，C，F三点共线且点M位于C，F之间时，距离之和最小，其值是F到l1：5x4y40的距离，由点到直线的距离公式可得其距离d.13解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx，即axby0的距离为b3，所以a4,2a8. 答案：8 14解析：因为(12x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C(2)10；(1ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为Ca4a，所以(12x)5(1ax)4的展开式中x的系数为14a1(10)2，所以a3.答案：315.【解析】，因为所以是偶函数。所以所以变形为：又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故填 16解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2，所以所求轨迹的周长为2.答案：2 17 解：(1)在ABC中，cos Bcos(AC)由已知，得(1sin2B)
