新新教案系列高中数学4.1圆的方程教案pdf新人教A必修2.pdf

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1、新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 圆 圆的的方方程程 圆的标准方程 课标解读 课标要求学习目标 掌握确定圆的几何要素和 圆的标准方程 会根据不同的已知条件 利 用坐标法 数形结合思想以及 转化与化归的思想求出圆的 标准方程 培养学生细心的学习习惯 认真的学习态度 并激发学生 学习数学的兴趣 会推导圆的标准方程 掌握 圆的标准方程的特点 会判断点与圆的位置关系 能根据所给有关圆心 半径 的具体条件用待定系数法准 确地写出圆的标准方程 能运用圆的标准方程正确 地求出其圆心和半径 教学策略 重点难点 本节重点是对圆的标准方程结构特征的正确理解与认 识以及在给定条件下求圆的标准方程的一

2、般思维方法 难点 是圆的标准方程的求法 教学建议 在得到圆的标准方程 之后 用 曲线与方程 的思想解释圆的标准方程与圆之间的关系 即 若点 在圆上 则点 的坐标是方程的解 反过 来 若点 的坐标适合方程 则点 在圆上 对于圆的标准方程 应强调其 圆心为 半径为 注意方程中的减号 提出坐标 法 的 思 想 即 根 据 给 出 的 圆 心 坐 标 以 及 半 径 写 出 圆 的方程 从几何到代数 根据坐标是否满 足 方 程 来 认 识所对应的几何对象之间的关系 从代 数到几何 在引导学生列关于 的方程或方程组时 要注意 联系平面几何的知识 尤其是其中的一些直角三角形 垂径 定理等 要结合题目 让学

3、生初步体验用 待定系数法 求曲线 方程这一数学方法使用的过程 但此处不要过早地归纳其解 题步骤 情境创设 同学 们 你 们 做 过 摩 天 轮 吗 登 高 而 望 远 不 亦 乐乎 坐落于泰 晤 士 河 畔 的 英 航 伦 敦 眼 距 地 面 总 高 度 为 米 由于伦敦眼属于观景摩天轮结构 有些人认为其在 排行上应该与重力式摩天轮分开来计算 目前世界上最大的重 力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈 是直径 米 离 地面总高度为 米的摩天轮 对于这些摩天轮 我们如何通过建立平面直角坐标系 利用方程的知识来研究呢 我国宋代的祖冲之喜欢研究天文历法 特别爱好研 究数学 他造过 指南车 千里船 定

4、时器 但他最杰 出的贡献是对圆的研究 他计算出圆周率在 和 之间 成为世界上最早把圆周率数值推算到七 位数字以上的科学家 今天 我们将从一个全新角度对圆 作进一步的研究 合作探究 探究一 圆的标准方程 想一想 圆是怎样定义的 在平面内任一点到定点的距离等于定长的点的集合 轨 迹 叫做圆 定点就是圆心 定长就是半径 图 议一议 确定圆需要哪些条件 一个圆的圆心位置和半径一旦 给定 这个圆就被确定下来了 探 究 如 图 设 圆 心 是 半径为 设 是圆上 任意一点 则 由两点间的 距离公式得 槡 即 其中圆心为 半径为 这个方程我们称之为圆的标准方程 提升总结 圆心为 半径为 的圆的标准方程为 温

5、馨提示 如果圆心在坐标原点 此时 则 圆的方程为 圆的标准方程 圆 心 为 半径为 例 求满足下列条件的各圆的方程 圆心在原点 半径是槡 圆心为点 半径是 经过点 且圆心为点 分 析 根据圆心和半径直接代入标准方程 解 方 法 圆 的 半 径 槡 圆心为点 圆的方程是 方法 圆心为 设圆的方程为 又 点 在圆上 圆与方程第四章 教 学 札记 所求圆的方程是 点 拨 确定圆的标准方程只需要确定圆心的坐标和圆 的半径即可 因此圆心和半径被称为圆的两要素 跟踪练习 圆 的 圆 心 和 半 径 分 别 为 槡 槡 解 析 根据圆的标准方程的定义和参数的几何意义 直 接写出圆心坐标和半径 答案 已知一圆

6、的圆心为点 一条直径的两个端 点分别在 轴和 轴上 则此圆的方程是 解 析 由 中点坐标公式得直径的两 个 端 点 为 所以半径 槡 槡 答案 探究二 如何确定点与圆的位置关系 在平面直角坐标系中 圆一旦确定 该平面的任何一点 与圆的位置关系也就确定下来了 那么该如何判断点与圆的 位置关系呢 想一想 初中学习圆的内容时 点与圆的位置关系有哪 些 是怎样判定的 点与圆的位置关系有三种情形 点在圆内 点在圆上 点 在圆外 其判断方法是看点到圆心的距离 与圆半径 的关系 时 点在圆内 时 点在圆上 时 点在圆外 探究 以圆 为例 在圆上的点 都满足 数形 结 合 易 知 点 都在圆的 内 部 它 们

7、 满 足 事实上 若点 在圆的内部 过点 作 轴的垂 线 交圆于 显然有 且 从而 有 也就是说圆内部的点 都满 足 数形结合易知点 都在圆的外部 它们满足 事实上 若点 在圆的 外部 过点 作 轴或 轴的垂线 若与圆有交点 则同理可得 若均与圆无交点 则 从而也有 也就是说圆的外部的 点 都满足 将圆替换为 结论同样 成立 提升总结 点 在圆 上等价于 点 在圆 内部等价 于 点 在圆 外部等价 于 温馨提示 点与圆的位置关系的比较有两种方法 几何 法与代数法 例 写出以点 为圆心 为半径的圆的标准 方程 并判断点 与该圆的 位置关系 分 析 先求出圆的标准方程 然后再判断 解 圆的标准方程

8、为 因为 槡 所以点 在圆上 因为 槡 所以点 在圆内 因为 槡 所以点 在圆外 点 拨 求点与圆心之间的距离或将点的坐标代入方程 是关键 跟踪练习 试判断点 是在圆 的内部还是外部 分 析 既可以先求出该点与圆心的距离 通过比较 与半径 的大小得出结论 也可以把所给点的坐标代入已知 圆的标准方程进行判断 于是可得以下两种方法 解法 圆心为 则 槡 槡 槡 故点 在圆上 槡 槡 槡 故点 在圆外 槡 槡 故点 在圆内 解法 将点 分别代入圆的标 准方程 得 故点 在圆上 故点 在圆外 故点 在圆内 点 拨 两种解法是一致的 但第二种解法更直接一些 探究三 圆的标准方程的求法 想一想 圆的标准方

9、程中有几个参变量 使用什么方法 求解 议一议 圆的标准方程中含有三个参变量 必须具备三 个独立的条件 才能定出一个圆的方程 当已知曲线为圆时 一般采用待定系数法求圆的方程 提升总结 求圆的标准方程的一般步骤为 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 根 据 题意 设所求的圆的标准方程为 根据已知条件 建立关于 的方程组 解此方程组 求出 的值 将所得的 的值代回所设的圆的方程中 就得 到所求的圆的标准方程 例 已知一个圆 经过两个点 且圆心在直线 上 求此圆的方程 解 因为 所以 中点为 从而 的中垂线方程为 即 解方程组 得 所以圆心为 从而圆 的半径 槡 槡 故所求圆的方程为 跟

10、踪练习 圆心为 且与直线 相切的圆的方程 是 解 析 圆心为 半径 槡 槡 所求圆的 方程为 答案 备选例题 例 已知点 在圆 上 求 的值 分 析 本题是点与圆的位置关系问题 直接利用点与圆 的位置关系的等价条件求解 解 因为点 在圆 上 所以 化简得 解得 或 点 拨 判断点在圆上 圆内还是在圆外 一般是将点的 坐标代入 并利用相应的等价条件求解 由于是等价条件 所 以逆向应用求解参数范围的方法也一样 例 在平面直角坐标系中 求与 轴相交于 和 两点 且半径为槡 的圆的标准方程 分 析 设出圆的标准方程进行求解或利用平面几何的 知识求解 解法 设圆的标准方程为 因为 两点在圆上 所以可得到

11、方程组 解得 所以圆的标准方程是 或 解法 由 两点在圆上 知线段 是圆的一条弦 根据平面几何知识 这个圆的圆心在线段 的垂直平分线 上 于是可以设圆心为 又由 槡 得 槡 槡 解得 或 因此 所求圆的标准方程为 或 点 拨 本题求解的核心就是求出圆心的坐标 待定系数 法是最容易想到的办法 但用待定系数法计算有时会比较麻 烦 如果在求解有关这类问题时能够结合圆的有关几何性质 来考虑 如垂径定理等 可以使思路比较直观且计算会更为 简捷 例 有一种商品 两地都有出售 且价格相同 某地 居民从两地之一购得商品后运回的费用 地每千米的费用是 地每千米费用的 倍 已知 两地的距离是 千米 顾客 选择 地

12、或 地购买这种商品的标准是运费和价格的总费 用较低 求 地居民选择 地或 地购货总费用相等时 点 所在曲线的形状 并指出曲线上 曲线内 曲线外的居民应 如何选择购物地点 分 析 本题是一个实际问题 要通过建立数学模型来 图 解 决 判 断 曲 线 的 形 状 实 际 上 是 求 曲线方程 宜用解析法 解 如图 所示 以 所在 直线为 轴 线段 的中点为原点 建立平面直角坐标系 设 地每千米的费用为 元 到 所在 地购物费用相等时有 价格 地运费 价格 地运费 槡 槡 化简整理 得 当 点在以 为圆心 为半径的圆上时 居民到 地或 地购货总费用相等 当 点在上述圆内时 槡 槡 故此时到 地购 物

13、较合算 当 点在上述圆外时 同理可知 此时到 地购物 较合算 点 拨 作为应用题要注意领悟题目的实际意义 对于曲 线上 曲线内 曲线外的居民应如何选择购物地点 这实际是 研究点与圆的位置关系问题 圆与方程第四章 教 学 札记 反思感悟 利用圆的标准方程直接求出圆心和半径 比较点到圆 心的距离与半径的大小 能得出点与圆的位置关系 求圆的 标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径 借助弦心距 弦 长 半径之间的关系计算时 可大大简化计算的过程与难度 圆的标准方程为 其中 圆心坐标为 圆的半径为 圆心在原点 半径为 的圆 的标准方程为 点与圆的位置关系有三种情形 点在圆内 点在圆上 点 在圆外 其判断方

14、法是看点到圆心的距离 与圆半径 的关系 时 点在圆内 时 点在圆上 时 点在圆外 求圆的标准方程的基本方法有直接法 定义法 待定 系数法 在求解时要注意数形结合思想方法的使用 课后作业 圆心在 轴上 半径为 且过点 的圆的方程 是 解 析 设圆的圆心 则 槡 圆的标准方程是 答案 直线 将圆 平分 则 等于 以上答案都不对 解 析 直线过圆心时才将圆平分 将圆心 代入 直线方程 解得 答案 圆 关于原点 对称的圆的方程 为 解 析 求出圆心的对称点即可 圆心 关于原点 的对称点为 半径不改变 故所求对称圆的方程 为 答案 点 在圆 的内部 则 的取 值范围是 或 解 析 因为点 在圆 的内 部

15、 所以有 解得 答案 圆 与圆 关于直线 对称 则 与 的值分别等于 解 析 已知两圆圆心分别为 所以 的中点为 故直线 的方程为 即 所以 故选 答案 直线 与坐标轴交于 两点 则以线 段 为直径的圆的标准方程是 解 析 由直线方程知 所以圆心坐 标是 半径为 故所求圆的标准 方 程 是 答案 经过点 圆心在 轴负半轴上 半径等于 的圆 的方程为 解 析 根据条件得出圆心为 故方程为 答案 过点 槡 的直线 将圆 分成两段弧 当 劣弧所对的圆心角最小时 直线 的斜率 解 析 槡 点 槡 在圆 的内部 当劣弧所对的圆心角最小时 圆心 与点 槡 的 连线垂直于直线 槡 槡 所求直线 的斜率为槡

16、答案 槡 已 知 两 定 点 动 点 在 圆 上移动 求证 恒为定值 证明 设 则 于是 在圆上 即 求过点 和直线 相切 且圆心在直 线 上的圆的方程 解 因为所求圆的圆心在直线 上 所以设圆 的方 程 是 其 圆 心 是 半径为 所 以 槡 烅 烄 烆 解 得 或 所以所求圆的方程是 或 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 圆的一般方程 课标解读 课标要求学习目标 掌握圆的一般方程的特点 会进 行标准方程与一般方程的转化 会根据不同的已知条件 利用待 定系数法 相关点法以及数形结合 思想 转化与化归思想求出圆的一 般方程 使学生通过观察 分析 尝试 培 养学生的创造能力和逻辑思维能 力 培养学生敢于探索的创新精神 和对待挫折的良好的心理品质 掌握圆的一般方程的 特点 能将圆的一般方程化 为圆的标准方程 进而求 出 圆 心 的 坐 标 和 圆 的 半径 能根据所给具体条件 用待定系数法 相关点法 准 确 地 求 出 圆 的 一 般 方程 教学策略 重点难点 本节重点是圆的一般方程的特征和圆的一般方程的求 法 难点是用相关点法求圆的轨迹方程 教学建议 引导学生重视配方法的