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1、平面向量第二章 教 学 札记 西 南 东 北 图 3 7 槡 J 知7点在 点 的正北方向 槡 J 处 7 E 知 7 E 1 E 7 则3 3 3 3 3 C 3 3 C 3 7 3 3 7 4I的河水中 如果使船以 J 4I的实际航速与河岸成直角行驶 求船航行速度的大 小和方向4I 方向与水流速度 所成角为 7 4I 方向为北偏 西 满足3 3 2 3 3 3 7 3 7 2 1 B 则 点轨迹一定通过1 7的 外心0 内心2 重心3 垂心 解 析 3 3 3 7 3 7 是以 为起点 3 3 3 7 3 7 为邻边 的菱形的对角线 所以 点总在 7平分线上 即 点 轨迹一定通过1 7的内
2、心 答案 0 点 拨 首先理解 3 3 3 7 3 7 的几何意义 明确 3 3 3 7 3 7 为菱形对角线 然后由向量的数乘及向量加法几何意 义可解 例 已知 6 6 求 化简 12 分 析 根据向量的线性运算律求解 解 由已知 得 所以 5 原式 1 2 点 拨 由于向量的线性运算满足加法交换律 结合律和乘 法结合律 分配律 故向量线性运算可仿照多项式运算进行 反思感悟 向量的数乘运算是向量的基本运算 由于向量数乘的 几何意义 运算律 向量共线定理都依赖于向量数乘的运算 定义 所以向量数乘运算的定义是本节教学的重点 在教学 时注意引导学生观察实例 作图验证 让学生感受数乘运算 的几何意义
3、 在此基础上抽象概括出数乘运算的定义 符合 从特殊到一般的认知规律 向量数乘运算律的教学 是按照 猜想发现 直观验 证 的思路进行 既要考虑学生的实际水平 又有利于培养猜 想探究的能力 向量共线定理的发现并不困难 难点在于定理的论 新新教案高中数学必修 人教实验 版 教 学 札记 证 特别是2的寻找 既体现了方程的思想 又是待定系数法 的具体应用 应用向量共线定理证明三点共线和两直线平行时 通 过向量的几何 代数运算 找出两个向量的数乘关系是解题 的关键 通过中间向量沟通两个向量的共线关系 是解题的 一个技巧 课后作业 设 为实数 为向量 给出下列四个命题 若 则 若 则 其中正确命 题的个数
4、是 0 2 3 解 析 显然 正确 当 时 与 不一定相等 所以 不正确 当 时 与 不一定相等 所以 不正确 答案 0 若E C D分别为1 7边 7 7 上的中点 且 3 7 3 7 给出下列命题 其中正确命题的个数 是 3 E 3 C 3 7 D 3 E 3 C 3 7 D 0 2 3 解 析 3 E 3 7 3 7 E 3 7 3 7 3 C 3 7 3 7 C 3 7 3 7 3 7 D 3 7 3 7 答案 3 北京高考 已知 是1 7所在平面内一点 E为 7边中点 且 3 3 3 7 那么 3 3 E0 3 3 E 2 3 3 E3 3 3 E 解 析 3 3 3 7 3 3 7
5、 3 又 E为 7边中点 由平行四边形法则知3 3 7 3 E 3 E 3 3 3 E 答案 设 不共线 下列几组向量中 其中满足向量 共线的组数 为 0 2 3 解 析 不共线 不共线 共线 共线 不存在2 使 2 不共线 答案 0 图 1 湖南 如图 E C D分 别 是1 7的 边 7 7 的中点 则 3 E 3 C 3 7 D 0 3 E 3 7 D 3 E D 2 3 E 3 7 C 3 7 D 3 3 E 3 C 3 D 7 解 析 3 E 3 C 3 7 D 3 3 7 3 7 3 3 7 3 7 答案 若 与 方 向 相 反 且 2 则2 解 析 根 据 向 量 数 乘 的 定
6、 义 求 解 与 反 向 2 又 2 2 5 2 2 答案 如图 在矩形 7 E中 为 7 E的交点 若3 7 3 E 7 则 3 图 解 析3 3 7 3 E 3 E 7 3 7 3 E 7 答案 如图 1 在G 7 E中 C D分别在E 7 上 且 E C E 7 D 则3 C与3 7 D的关系是 图 1 解 析 设3 E 3 E C E 7 D 3 C 3 E 3 E C 3 7 D 3 7 3 D 3 C 3 7 D 3 C 答案 3 7 D 3 C 图 1 如图 在平行四边形 7 E中 点0是 的中 点 点1在 E上且 1 E 求 证 0 1 7三 点 共线 分 析 本题主要考查向量
7、的线性运算及用向量法证明 多点共 线 问 题 欲 证0 1 7三 点 共 线 只 需 证 明 3 01D 3 07即可 证明 3 01 3 1 3 0 3 0 3 3 1 3 E 3 3 7 3 01 3 3 7 3 3 7 3 3 07 3 7 3 0 3 7 3 由 可知3 07 3 01 即 3 07D 3 01 又 07 01有公共点0 0 1 7三点共线 证明 向量 3 3 3 7的终点 7共线 则存在实 数2 3 且2 3 使3 7 2 3 3 3 反 之 也 成立 分 析 7共线 则3 D3 7 存在唯一实数 使 得3 7 3 证明 若向量3 3 3 7终点 7共线 则 3 D
8、3 7 故存在实数 使得 3 7 3 又 3 7 3 7 平面向量第二章 教 学 札记 3 3 3 3 3 7 3 3 3 3 7 3 3 令2 3 即存在2 3 且2 3 使 3 7 2 3 3 3 若3 7 2 3 3 3 其中2 3 则3 62 3 7 2 3 62 3 3 7 3 2 3 3 即3 7 2 3 7三点共线 即向量3 3 3 7的终点 7在一条直线上 平 平面面向向量量的的基基本本定定理理及及坐坐标标表表示示 课标解读 课标要求学习目标 了解平面向量的基本定理 及其意义 掌握平面向量的正交分解 及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的 加法 减法与数乘运算 理解用坐标表示平面
9、向量 共线的条件 通过本节内容的学习 认识 平面向量基本定理是实现向 量由几何形式过渡到代数形 式的桥梁 通过对 数 的运算 的处理 与 形 的问题达到辩 证的统一 培养观察 分析 归 纳 抽象的思维能力 了解平面内任一向量用两不 共线的向量表示出来的形成过 程 掌握基底和两向量的夹角 垂直等概念 掌握向量的正交分解 在此基 础上会用坐标表示向量 会用向量的坐标进行向量的 线性运算 掌握运算法则 明确一个向量的坐标等于表 示此向量的有向线段的终点的 坐标减去始点的坐标 会利用向量的坐标判断两向 量是否共线和证明三点共线问 题 掌握中点坐标公式及求分点 的坐标 教学策略 重点难点 本节内容的重点
10、是平面向量基本定理的意义 平面向量 的坐标及其相关运算 难点是如何选取基底表示平面上的任 一向量 此外如何利用平面向量的坐标运算来解决平面几何 问题是本节的另外一个难点 教学建议 平面向量的正交分解及其坐标表示是培养学生数形 结合思想的重要基础 也是向量方法的灵魂 在教学中要高 度重视 向量的坐标表示是本节学习的关键 它有着丰富的物 理背景 教学时要从学生熟悉的力 位移 速度的分解入手 架起新旧知识联系的桥梁 降低学生学习的难度 搭建好学 习新知识的平台 平面向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特 殊情况 也可以视为平面向量基本定理的一个应用 另外关 于基底的不唯一性 教学时可以让学生通过作
11、图来体会 向量的坐标与点的坐标不是同一个概念 在教学时可 以通过向量的平移来感受两者之间的区别和联系 在教学的过程中要注意把对知识的探究和能力的培 养结合起来 让学生多动手画图观察 分析类比 抽象概括 从而培养学生的思维能力 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 情景创设 一架沿西北方向飞行的飞机 它的位移在正西 正北 方向如何分解 飞机沿仰角为 的方向起飞的速度为 可分解为沿水 平方向的 速 度 和 沿 竖 直 方 向 的 速 度 如 图 图 图 在物理学中我们知道 一个放在斜面上的物体所受的 竖直向下的重力 可分解为使物体沿斜面下滑的力 和 使物体垂直于斜面并压紧斜面的力 如图 合作探究 探究一 平面向量基本定理 问题 任给平面内两个向量 你可以作出 吗 思考讨论 根据平面向量的线性运算法则 利用作图法 完成 得到 引导学生从问题的反方 向上考虑 即平面内 可以用已知向量 表示 问题 平面内的任一向量是否可以用两个不共线的 向量来表示呢 合作探究 平面内两个不共线的向量相当于 基本音 符 利用平行四边形法则和共线向量定理引导学生将平面 内任一向量 用平面内不共线的向量 表示 这是向量 合成的逆向思维 要仔细体会 提升总结 平面向量基本定理 如果 是同一平面
