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1、新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 例 已知圆的方程为 设该圆过 点 的最长弦和最短弦分别为 和 则四边形 的面积为 槡 槡 槡 槡 跟踪练习 若圆 的圆心到直线 的距离为槡 则 的值为 或 或 或 或 若方程 表示一个 圆 则应满足 探究三 圆的一般方程的求解与应用 例 的三个顶点分别为 求其外接圆的方程 分 析 由于所求的圆过三个点 因而选用一般式 从而 只要确定系数 即可 注意三角形外接圆的圆心为各 边的垂直平分线的交点 所以也可以先求圆心 再求半径 从 而求出圆的方程 例 求圆心在直线 上 且过点 和 的圆的方程 跟踪练习 已知圆 始终被直线 平 分 则 反思感悟 方程
2、中含有三个参变量 因此必须具备三个独立条件 才能确定一个圆 要注意圆的 一般方程与标准方程的互化 待定系数法是数学中常用的一种方法 在以前也已用 过 例如 由已知条件确定二次函数 利用根与系数的关系确 定一元二次方程的系数等 这种方法在求圆的方程或其他问 题中有广泛的应用 要熟练掌握待定系数法解决有关问题 求圆的方程常用 用 待定系数法 求圆 的方程的大致步骤是 根据题意 选择标准方程或一般方 程 根据条件列出关于 或 的方程组 解 出 或 代入标准方程或一般方程 直 直线线 圆圆的的位位置置关关系系 直线与圆的位置关系 学习目标 掌握直线与圆的位置关系的种类 利用平面直角坐标系中点到直线的距
3、离公式求圆心 到直线的距离 会用方程思想 判别式法 或点到直线的距离来判断 直线与圆的位置关系 会求直线与圆的相交弦的长度以及切线方程 情境创设 年 月 日上午 在电视里已经炒作了几个月 的由湖南经济电视台和平江县人民政府联合举办的 汽车走 钢丝 万人尖叫汨罗江 活动终于在距平江县城不远的澄潭 举行 来自河南号称中国车王的刘锁柱 驾驶一辆没有经过 改装的轿车 驶过架设在汨罗江上距离水面 米的高空 长 达 米的两根钢索横跨了汨罗江 从而成功地打破了上海 大世界吉尼斯纪录 在 米的行程中 车王多次鸣笛向观众致意 还两次 打开车门查看汽车的情况 整个过程历时 分钟左右 若把 钢丝看做直线 汽车轮胎看
4、做圆 同学们想一想 汽车行驶过 程中 直线与圆具有怎样的位置关系 台风中心从 地以 的速度向东北方向移动 离台风中心 内的地区将受其影响 城市 在 地正 东 处 城市 是否会受到台风影响 如果受影响 影 响的时间为多长 合作探究 探究一 直线与圆的位置关系的判定方法 想一想 在初中我们学习几何内容时 直线与圆的位置 关系有哪些 直线与圆有以下三种位置关系 如图 所示 直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相离 图 问题 在初中 我们怎样判断直线与圆的位置关系 圆与方程第四章 学 习 札记 探究 根据圆心到直线的距离与半径的关系 如果直线 与 圆 的 方 程 分 别 为 可以用圆心 到直线 的距离 槡
5、 与圆 的半径 的大小关系来判断直线与圆的位置关系 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交 这种方法习惯上称为几何法 问题 如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系 探究 直线 和圆 的方程分别为 如果直线 和圆 有公共点 由于公共点同时在直线 和圆 上 所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解 反之 如果这两个方程有公共解 那么以公共解为坐标的点 必是直线 和圆 的公共点 由 和 的方程联立方程组 可以用消元法将方程组转化为一 个关于 或 的一元二次方程 若方程有两个不相等的实数根 则直线与圆相交 若方程有两个相等的实数根 则直线与圆相切 若方程无实数根 则直线与圆相离 即 直线与圆相离
6、 直线与圆相切 直线与圆相交 这种方法习惯上称为代数法 提升总结 关系相离相切相交 二元一次 方程组 方程组无解 方 程 组 有 一 组解 方程 组 有 两 组 不同的解 消 元 后 的 一 元二次方程 方 程 无 实 数 根 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 方程 有 两 个 不 相等 的 实 数 根 圆心到直线的 距离 与圆半 径 的关系 图示 例 已知直线 和圆 判断直线 与圆 的位置关系 分 析 本题是已知圆与直线方程判断关于圆与直线的 位置关系的题目 一般用几何法或代数法两种方法判断 跟踪练习 圆 槡 的切线 方 程 中 有 一 条 是 若 是直角三角形的三边 其中 为斜边
7、 那么 直线 与圆 的位置关系 是 相交 相切 相离 相交或相切 探究二 圆的弦长的求法 问题 利用平面几何法求弦长 图 探究 如图 所示 直线 与圆相交 于 两点 线段 的长即为直线 与圆 相交的弦长 设弦 心 距 为 圆 的 半 径 为 弦 长 为 则有 即 槡 问题 利用两点法求弦长 想一想 如何求交点的坐标呢 议一议 将直线的方程代入圆的方程 消去 或 得到 关于 或 的一元二次方程 解方程求出交点的坐标 再 利 用 两 点 间 距 离 公 式 得 弦 长 槡 提升总结 两种方法求弦长的公式 槡 槡 例 求直线 被圆 截得的弦长 分 析 本题已知直线和圆的方程 可以按照求弦长的一 般方
8、法进行 跟踪练习 直线 被圆 所截得的 弦长是 探究三 圆的切线的求法 问题 过圆上一点切线的求法 探究 若点 在圆 上 此时求切线方程的方法比较 多 如 方法 利用切线的斜率 与圆心与该点的连线的斜 率 的乘积等于 即 方法 切线上不同于切点的点 与切点 和圆心 构成 方法 圆心 到直线 的距离等于半径 提升总结 当点 在圆 上时 切线方 程为 当点 在圆 上时 切线方程为 问题 过圆外一点切线的求法 探究 若点 在圆外 则设切线方程为 变成一般式 因为与圆相 切 利用圆心到直线的距离等于半径 解出 温馨提示 此种情况有两条切线 若此方程只有一个根 则还有一条斜率不存在的直线 务必要补上 新
9、新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 例 求与直线 平行且与圆 相切的直线的方程 分 析 本题由于切线与直线 平行 故可以设出 切线的方程 然后使用几何法与代数法求解 跟踪练习 直线槡 与圆 相切 则实数 等于 槡 或 槡 槡 或 槡 槡 或槡 槡 或 槡 反思感悟 直线与圆的位置关系有 三种情况 在 判断位置关系时有几何法与代数法 几何法是借助圆心到直 线的距离与半径的比较 代数法是利用直线与圆的方程建立 的一元二次方程组的解的情况确定的 求解弦长与切线涉及直线的斜率时 要注意分斜率存 在与不存在两种情况讨论 涉及圆被直线截得的弦长问题时 常用弦心距 半弦 及半径构成的 解决 直线
10、与圆的问题要注意联系 平面几何的知识 对称与最值问题常用等价转化 数形结合的思想方法 解决 解决直线与圆的综合题时 既要注意运用坐标法 也 要准确作图 并充分挖掘图形中的条件 利用几何知识能使 问题较为简捷地得到解决 圆与圆的位置关系 学习目标 理解圆与圆位置关系的种类 利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的 连心线长 圆心距 会用连心线长判断两圆的位置关系 会求两相交圆的公共弦的方程 公切线的方程 图 情境创设 同学们 大家都熟悉 年中 国奥运会会徽 如图 你知道 它的意义吗 会徽设计将中国特色 北京特点 和奥林匹克运动元素巧妙结合 中 国印 舞动的北京 以印章作为主体 表现形式 将中
11、国传统的印章和书法 等艺术形式与运动特征结合起来 经 过艺术手法夸张变形 巧妙地幻化成 一个向前奔跑 舞动着迎接胜利的运动人形 人的造型同时形似 现代 京 字的神韵 蕴含浓重的中国韵味 会徽下方的五个圆环 就是我们即将要研究的圆与圆的 位置关系中的外离与相交 看图只是直观上的 我们要通过 坐标法 通过精确的计算来判断圆与圆的位置关系 合作探究 探究一 圆与圆的位置关系的判定 想一想 在初中我们学习几何内容时 圆与圆的位置关 系有哪些 圆与圆的位置关系有外离 外切 相交 内切 内含共 种 问题 平面几何法判断这五种位置关系的步骤 探究 第一步 计算两圆的半径 第二步 计算两圆的圆心距 第三步 根
12、据 与 之间的关系 判断两圆的位 置关系 问题 平面几何法判断圆与圆的位置关系公式 探究 设两圆的方程分别为 两圆相外离 槡 两圆相外切 槡 两圆相交 槡 两圆相内切 槡 两圆相内含 槡 问题 用代数法判断圆与圆的位置关系 探究 将两圆的方程联立 消去其中的一个未知数 或 得关于 或 的一元二次方程 若方程中 则两圆相 交 若方程中 则两圆相切 包括外切 内切两种情形 若 方程中 则两圆相离 包括外离 内含两种情形 提升总结 位置关系判断如下表所示 位置关系关系式图形 外离 外切 相交 内切 内含 由数形结合知 容易记忆的情形有外离 外切 内切 它们分别是 再进一步分析 相交一定介于外切和内切
13、之间 所以满足 最后剩下的就是内含 总体上来看就是由 圆与方程第四章 学 习 札记 把正实数分成五个部分 从大到小依次为外 离 外切 相交 内切 内含 例 判断下列两圆的位置关系 与 与 分 析 数形结合 利用两圆连心线长与两圆的半径之 和 半径之差的绝对值之间的关系直接判断 跟踪练习 已知圆 和圆 则两圆的位置关系是 相交 外切 内切 外离 已知两 圆 与 相切 则实数 的取值为 或 或 或 探究二 两圆的公切线 想一想 两圆的公切线是怎样的直线 问题 两圆的公切线有几条呢 公切线的条数与两圆的位置关系有着怎样的联系 探究 根据两圆的位置关系 分别作出两圆的公切线 如 图 所示 外离外切 内
14、含 相交 内切 图 提升总结 两圆的位置关系外离外切相交内切内含 公切线条数 图 探究三 两圆公共弦的求法 想一想 两圆公共弦是如何定义的 当两圆相交时 必有两个交点 那 么过这两个交点的弦称为两圆的公共 弦 如图 所示 问题 公共弦所在直线方程的求法 探究 设圆 圆 由 得 设圆 与圆 相交 由于 为直线方程 若 为圆 与圆 的交点 则 点的坐标 满足 且 两 方程相减得 即 的坐标适合直线方程 故 在 所对应的 直线上 表示过两圆 与圆 交点的直线 即公共弦所 在直线的方程 问题 公共弦长的求法 探究 方法 将两圆的方程联立 解出两交点的坐标 利用两点间的距离公式求其长 方法 求出公共弦所
15、在的直线方程 利用勾股定理解 直角三角形求出弦长 提升总结 公共弦所在直线的方程为两圆方程的差 两圆公共弦长的求法有两种 几何法 代数法 例 已知圆 和圆 求两圆公共弦所在的直线方程及 公共弦长 分 析 通过作差法求公共弦所在直线的方程 使用几何 法求弦长 跟踪练习 过两圆 和 的交点 的直线方程为 已知圆 与圆 相交于 两点 求弦 的长 反思感悟 三类关系 两圆位置关系的五种情况也可以归结为三 类 两种方法 判断圆与圆的位置关系常用的两种方法 几何法 代数法 一般情况下使用几何法比较方便 一个方程 过两条曲线 交 点的曲线系方程为 一种思想 数形结合的数学思想方法 这一数学思想 方法将贯穿于
16、数学的始终 公切线的情况 两圆外离有 条公切线 两圆外切有 条公切线 两圆 相交有 条公切线 两圆内切有 条公切线 两圆内含无公 切线 新新学案高中数学必修 人教实验 版 学 习 札记 直线与圆的方程的应用 学习目标 理解直线与圆 圆与圆的位置关系的几何性质 利用直线与圆 圆与圆的位置关系解决实际问题 通过建立适当的平面直角坐标系 利用坐标法解决平 面几何问题 通过建立适当的平面直角坐标系 利用坐标法解决实 际问题 情境创设 同学们 你见过 清明上河图 吗 作者张择端以精致的工笔记录了北宋末叶 徽宗时代首 都汴京 今开封 郊区和城内汴河两岸的建筑和民生 该图描 绘了清明时节 北宋京城汴梁以及汴河两岸的繁华景象和自 然风光 横跨汴河上的是一座规模宏大的木质拱桥 它结构 精巧 形式优美 宛如飞虹 故名虹桥 有一只大船正待过桥 船夫们有用竹竿撑的 有用长竿钩住桥梁的 有用麻绳挽住 船的 还有几人忙着放下桅杆 以便船只通过 汴河大桥 犹 如长河落日 平静的河水动意盎然 跃然纸上 往来船只川流 不息 但河水有涨有消 当河水涨到比较高的时候 应该离水 面多高才能通过木质拱桥呢 假设此拱桥为半圆形
