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1、广东省深圳龙华中英文实验学校2007届高三数学理科第四次模拟考试卷本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷为18题，共40分，第卷为920题，共110分。全卷共计150分。考试时间为120分钟。第卷（本卷共计40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知，则在复平面上对应的点位于（ D ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2设都是实数，则“”是“”的 条件（ A ） A. 充分非必要 B必要非充分 C，充要； D. 既非充分又非必要3已知垂直，则的夹角为（ C ）A90 B60 C
2、45 D304定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a、b,总有成立，则f(x)必定是（ D ）A.奇函数B.偶函数C.增函数 D.减函数5关于函数y=，下列论断正确的是 （ B ）A.在(-2,+)上单调递增 B.在上是减函数，在上是增函数C.在上是增函数，在上是减函数D.在上是减函数，在上是增函数6将函数的图象沿向量平移后所得图象的函数表达式为 ( C ) A. B. C. D. 7由曲线和围成图形的面积是（ A ） A B C3 D8等比数列的首项，公比，记,则达到最大值时，n的值为( C ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 第卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大
3、题共6小题，每小题5分，共30分）9系数为 20 .10.集合，在A中任取一元素m和在B中任取一元素 n,则所取两数mn的概率是 _0.6_ .11若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 .12在中，则 .1314.选做题（本小题共有三个小题，考生可选做两小题，多做不给分）（1）圆外切等腰梯形的周长为36，那么这个梯形的中位线长等于_9_;(2)在椭圆 中内接矩形，则内接矩形的最大面积是_40_;(3)把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它折成一个无盖方底的盒子，切去的正方形边长是_时，才能使盒子的容积最大。三、解答题：（本大题共6小题，共80分。解答下列各题必须写出必
4、要的步骤）15. (本小题满分10分) 已知：向量，求：. 解法一：3分.6分 ,8分.10分解法二： 由，.3分又由条件得，.5分 , 8分 10分16（本小题满分12分） 某商场开展促销抽奖活动,让参加抽奖的每位顾客从装有编号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的十个小球的袋子中取球,每次取一个,且取出的小球不再放回袋中.连续取5次,规定取出的5个小球中至少有4个编号为奇数(不计顺序)就可以得奖.(1) 计算每位抽奖顾客中奖的概率.(2) 设取出的5个球中,编号为奇数的球的个数为,写出的概率分布列并求它的期望.解: (1) 设“取出的5个小球中恰有4个编号为奇数”为事件A 则 P(A)
5、= .2分 设“取出的5个小球编号均为奇数”为事件B 则 P(A)= .4分 抽奖顾客中奖的概率为 P(A)+P(B)= 6分 (2) P(=0)= = P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=.8分 的概率分布列 012345p .10分它的期望为 E()=.12分17（本小题满分14分）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）,，依次类推，数列是公差为的等差数列.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）试写出关于的关系式.解（1）. 3分 （2）， 6分 ，当时，. 8分(3) .11分 .14分18
6、.（本小题满分14分）设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式;（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x) -kx是单调函数， 求实数k的取值范围。（3）设m0,n0且m+n0,a0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。解：（1） f(-1)=0 1分由f(x)0恒成立 知=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0 .2分a=1从而f(x)=x+2x+1 4分F(x)= .5分（2） 由（1）可知f(x)=x+2x+1 g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1.6分由于g(x)在上是
7、单调函数,知-或- .8分得k-2或k6 9分（3）解法一： f(x)是偶函数f(-x)=f(x), 可得b=0f(x)=ax+1 .11分 由于m0,n0且m+n0 知m0,n0或mn0,n0由于a0 易知f(m)0,f(n)0F(m)+F(n)=f(m)+f(n)0 .12分若mn0,n0综上知 F(m)+F(n)0.14分解法二： f(x)是偶函数f(-x)=f(x)而a0在上为增函数对于F(x)当x0时-x0F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) 当x0 F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数 11分由于m0,n0且m+n0 知m0
8、,n0或mn0,n0由于a0 易知f(m)0,f(n)0F(m)+F(n)=f(m)+f(n)0 .12分若mn0,n-n0知F(m)F(-n)F(m)-F(n)F(m)+F(n)0 .14分19、(本题满14分) 已知二次函数同时满足：不等式 的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。 设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。解：（1）的解集有且只有一个元素， 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。 3分 综上，得，5分
9、 7分 （2）解法一：由题设，8分时，时，数列递增， 10分，由，可知，即时，有且只有个变号数；.12分又，即，此处变号数有个。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。14分解法二：由题设， 8分时；.12分 又，时也有。 综上得 数列共有个变号数，即变号数为。14分20.（本小题满分16分）（理）已知为正常数。（1）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围.(2)猜测的单调性,写出单调区间（无需证明）；（3）对满足（1）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1） 在上恒成立，即在上恒成立，即，2分又即时，5分又，。 综上，得 。.7分(2) 易知，是奇函数，时，函数有最大值，时，函数有最小值。故猜测：单调递减区间为；9分单调递增区间为. 11分 注: (1)(2)利用导数求解酌情给分.（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。 如对，此时， 即 。16分
