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1、3 8 数 学 通 讯 2 0 0 5 年第 1 0 期 平面向量的运算及其应用 刘康宁 党效文 西安铁一中 陕西7 1 0 0 5 4 西安高新一中 陕西7 1 0 0 7 5 在高中数学 中 平面向量 的运算主要包括两类 一 是 向量的线性运算 二是向量的数量积 这些运算 都有明确的几何意义 因此学好向量可以为研究数 学的其它问题 特别是平面几何 带来很大的方便 1 向量 的加法与减法 实数与 向量 的积都是 向 量 它们属于向量的线性运算 根据向量加法与减法 的三角形法 对平 面上 任一 向量 既可以用加法 表示为 也可以用减法表示为 一 它们都体现了等价转化的数学思想方法 加 法 法
2、则 还 可 以 推 广 为 碣 C 一 1 C C 2 两个向量的数量积 的结果是一个数量 这种 运算是完全不同于实数 的一种运算 它既涉 及到这 两个向量的长度 又涉及到它们的方向 夹角 3 对于向量的运算 应注意以下几个问题 1 熟练运用向量的运算律 以简化运算过程 提 高解题速度 2 灵活运用完全平方和 完全立 方和以及平 方 差公式 3 平面 向量 的坐标运算使 向量运算 完全代 数 化 将数与形紧密地结合在一起 4 掌握两个非零 向量共线 平行 垂直的充要条 件 例 1 2 0 0 4年全 国高 中数 学联赛试题 如 图 1 设 为 AB C 内一点 且满足 2 魂 3 o 则 A
3、B C的面积 与 A o C的 面积的比为 D C 图 1 例 1 图 A 2 B 号 c 3 l D 讲解 已知等式左边各项的系数为 1 2 3 使 我们联想到三角形边上 中线 向量的特征 为此分别 取 B C C A 边的中点 D E 如图 1 则有 2 茄 1 2 魂 2 1 2 2 得 2 魂 3 2 2 茄 魂 2 魂 3 o 2 魂 o 茄 与 共线 且2 l 茄 l l l S A O C 2 S 吼 2 s 眦 2 s s 故 3 选 c 0 AOC 说明 本题还可以利用三角形重心的性质来解 决 详解下期的 三角形 四心 的向量表示及其应 用 例 2 第 1 5届希望杯数学邀请
4、赛试题 已知 a b 均为非零向量 且满足 2 n b 上 a 3 6 a 一 4 6 上 a b 则向量 a与 向量 b的夹角等 于 讲解根据向量数量积 的定义 要求 向量 a与 b的夹角 关键是求 a b和 l a l l b l 的值 不失一般性 设 l b l 1 2 a b 上 a 3 b a 一4 b 上 a b 2 a b a 3 b 0 a 一4 6 a b 0 即 2 n 5 a b一3 b 0 a 一3 a 6 4 b 0 又 a l al b l b l 1 2 l a l 5 a b 一3 0 l a l 一3 a b 4 0 联 立 解 得l a l 罟 n 6 一
5、言 c o s 昔 a 一 1 l l D l j l 故 7 c a r c C O S 2 0 0 5 年第 1 O 期 数 学 通 讯 3 9 说明 由于向量 口与b的夹角与口 6的长度无 关 所 以令 I b I 1 是可行的 例 3 如图2 在平面上给定不共线的三点 o A B 设 P为线段A B垂直平分线上任意一点 向量 a 魂 b P 求证 p 口一b 1 I 口 I 一I b I 讲解 若 注 意 到 I a I 一 I b I a 一b 0 a b a b 只需证明 P a b 1 口 口一 即可 由 1 口 6 联想到需要连结 r r 图 2 例 3图 连接 O C 则 1
6、 口 b 赢 口 一b c P P OC 上赢 赢 0 即 P一 口一b 0 P 口 一b 口一b 1 b 一 b 口 2 6 I口 I 一 I b 1 2 说明因为 C P是线段B A的垂直平分线 所以 向 量 和 橱上的投 影相 等 根 据数量积的定 义 o P 赢 商 看透了这一点 也就抓住了 本题的实质 例 4 已知 为 A B C 内一点 AO B 1 5 0 B O C 9 0 设 口 魂 b c 且 I aI 2 I b I 1 I c I 3 试用 a和b表示 c 讲解要用 a和 b表示 c 根据 向量基本定理 关键是选择恰当的常数 使 c 2 a t z b 但是选 择什么样
7、的常数 呢 根据问题的特点 我们可 以建立适 当的坐标系人手 如图 3 以 为原点 直线 O A 为 轴建立直角 坐标系 则 A 2 0 A0lB 1 5 0 B O C 9 0 f b I 1 V I 从而口 2 0 6 一 4 5 1 c c 一 号 一 学 设 c 2 a z R 则有 一 号 一 学 2 0 一 譬 1 卜 譬 1 譬 一 3 1 1 3 j解 得 一 3 I 一丁 故 c 3 a 3 b 例 5 已 知 向 量 一 1 b 4 3 存 在实数 k和t 使得向量 X a t 一3 b 一k a 1 试将 k 表示为 t 的函数 k f t 2 求 的最小值 讲解 1 口
8、 一1 6 1 雩 a I a I 4 b I b I 1 且 a b 1 一1 4 3 0 又 x y a t 一3 b 一k a t b 0 即 一k a t k t 一3 a b t t 一3 b 一 4 女 t t 一3 0 故 女 与 f R 2 了 k t 2 2 当 f 一2时 生 取得最小值一 7 说明 这是一道向量与函数的综合题 其中 a 4 1 a 上b是本题中重要的隐含条件 上 是建立女 f 的等量关系的重要依据 例 6 设坐标平面上全部向量的集合为 V a l a 2 为 的一个单位向量 已知从 到 V的映 射f由f x 一X 2 x a a x V 确定 1 若X y
9、 求证 X f Y y 4 0 数 学 通 讯 2 0 0 5 年第 1 0 期 1 y 一 2 n n 一Y 2 Y I 2 a 1 一1 0 一 譬 解 得 1 或1 l l l l 一 n c譬 譬 或 n c 一 譬 一 譬 习 题 1 平面向量 n 3 b z 3 c 1 1 d 告 若 a C l b d l 则 这 样 的 向 量 n有 A 1 个 t 3 2 个 C 多于 2个 D 不存在 2 已知 e l e 2 是夹角为 4 5 的两个单位向量 向 量 n e l 2 e 2 b 2 e 1 一e 2 则 n与 b的夹角为 A 号 B 号 c D a r c c o s 3
10、 百v T 4 U J 3 已知正方形 P Q R S两对角线交于点M 坐标 原点O不在正方形内部 o O P 0 3 4 0 则向量商 的坐标等于 第 1 5届希望杯数学邀请赛试题 已知 0为 坐 标原点 向量 2 0 2 8 商 一 3 3 茄 上 菇 R 且 0 则 亩 5 在 四边 形 A B C D 中 AB n BC b CD c d 若 n b b c c d d n 试 判 四边 形 A B C D 的形状 B D C 6 如图 4 D E F分别 图4 第 6 题图 是 A B C的三边 B C C A A B上的点 A D与 E F相 交于点G 已知 亩 又设 一 AC 试
11、求 Y关于 的函数关 系 z 并指出其定义域和值域 7 已知向量 H z Y 与向量 v Y 2 3 一 的对应关 系用 v f H 表示 1 证 明 对 任意 向量 n b及常 数 n 恒有 f y a n b m f n z b 成立 2 设 口 1 1 b 1 0 求向量 f a 和f b 的坐标 3 求使 f c P q P q为常数 的向量 c 的坐标 答案 提示 1 B 由 n c 1 b d 1 得 1 可3 7 f 1 联 立 消 去 Y 得 l 3 z 一l 8 z 一2 7 0 由 1 8 4 1 3 2 7 0知 方 程有 2个不 等实 根 故这 样的 向量 n 有 2 个 C 图 5 第 2 题解答用图 2 D 如图5 设 P 魂 P 2 则由平行 四 边形 三角形 法则 得 P 1 2 e 2 s Z 2 P 1 一 e2 设单位向量 e 的长为1 向量 与 亩 的夹
