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1、2 0 0 5 年第 1 2 期 数 学 通 讯 3 7 平面向量综合 问题 平面向量虽然刚刚步人 中学 数学 但它 已以生 动的面孔 娇健 的身姿溶人高 中数学 的几乎所有 内 容之中 并活跃在数学竞赛的舞 台上 限于高一同学 的学 习水平 本专题 主要通过 例题谈谈平 面向量 与 集合 函数 不等式 数列 三角等 内容 的综合问题的 解题思路和方法 例 1 2 0 0 4 年山 东省高中数学竞赛试题 已知 向量集合 M 口 口 一1 1 1 2 R N 口 口 1 一2 2 3 R 则 M n N A 1 一2 B 一1 3 一2 3 C 一1 1 D 一2 3 一1 3 讲解这是一道向量
2、与集合 的综合 题 可从两 集合交集的定义人手 确定其公共元 素 向量 若存在向量 口 M nN 则有 f 口 一1 1 l 1 2 z l 一1 2 x l 1 口 1 一 2 z 2 2 3 2 2 1 3 J 2 2 l I 2 R f z 1 1 2 x 2 1 f l 一1 2 0 则 口 b的最小值 为 讲解这是一道 向量 与三角的综合题 为 了建 立 口 b的表达式 我们可给等式 l h a b l 3 1 口一 刘 康宁 广隶 西安铁一中 陕西7 1 0 0 5 4 k b 的两边分 别平方 但将 出现 D 和 b 所 以首先 得求 口 0 和 b 的值 口 C O S a s
3、 i n g b c o S s i n f1 口 C O N a s i n 口 1 b C O S p s i n 1 由l k a b 1 口一k b 1 得 n 1 o 1 2 枷 0 当且仅当 k 1 即 k 1 时上式取等号 故 口 b的最小值为 说明本题应用了向量的性质 口 例 3 第 1 5届希 望杯 数学邀请赛 试题 如 图 1 点 D Q P分别在 A B C的三 边 A B B C C A上 C D与 P Q 交于点 E 已知 硅 又设魂 1 R 图 1 例 3圈 穗 Y 试求 关于z的函数Y 厂 的表达 式 并指 出函数的定义域和值域 讲解这是一道 向量与 函数 几何的
4、综合题 观 察图形 虽然点 P Q 分别 在线段 C A C B上运 动 但它们始终与定点 E保持共线不变 所以可将向量 蓖 分别 用 表示 然后利用向 量蔬与 商 共 线的充要条件建立变量 r 3 的关系式 i U X 商 b 则 上6 一 商 l 商 一 1 o 一口 l l t 茌 面 1 一C A 1 口 b 1 1 L t t B 1 3 8 数 学 通 讯 2 0 0 5年第 1 2 期 n 6 mn mn 从而商 蔬 一 商 一 一 1 P E Q三点共线 存在 ER 使得商 f 一 一 j删 I 1 l m n 了 b 上 n 上 6 Z 7 n n 商 则 消去 得所求 函数
5、 为 f z 1 一m z 显然 m 1 n 1 则 由 z 1 1 得 函数 厂 z 的定义域为 zI I z 又 厂 z 在区间 1 翌 上是减 函数 m 1 函数 f z 的值域 为 l 1 M m 1 说明 在求得向量 蔬 后 若利用 P E Q三点共线的充要条件 蔬 11 且 1 1 1 将会更简单 读者不妨一试 例 4 已知向量 n 2 2 向量 b与 向量 a的 夹 角 为 荨 且n 6 一 2 1 求 向量 b 2 若向量 t 1 0 满足 t 上b 向量 f c o s A 2 c o s 其 中 A C 是 AA B C 的 两 个 内角 且 AA B C的三个 内角A B
6、 C成等差数列 求 I b C I 的取值范围 讲解这是一道 向量与三角 数列的综合题 第 1 小题是一个基本问题 第 2 小题需要将 I b C I 表 示为AA B C内角 的三角 函数 转化为求三角函数的 值域问题 1 设 b z 贝 0 由 a b 2 得 2 x 2 y二 一 2 1 又I b I 1 四 1 2 n f C O S A z 一 1 I z 0 由 1 2 得 或 I 0 I 1 b 一 1 0 甄 b L 0 一 1 2 t 1 0 且 t 上 6 t b 0 b 0 一1 6 c c o s A I2 co s 等 一 1 c o sA Ic o s c 又 A
7、B C成等差数列 且 A B C B 要 A c j j 1 b C l c o s A c o s C 1 十 c s 2 A c o s 2 C 1 c o s A C C O S A C 卜 1 c 0 S A c 又 一 孥 A c j j 一 c o s A c 1 譬 c I f C d 的解集 讲解这是一道 向量与函数 不等式 三角的综 合题 易知 a b与 C d都 是关于 一 的三 角函数 因 此关键是脱去不等式 中的函数符号 这时就需要 确定 函数 f z 的单调性 设二次函数 f z 的首项系数为 0 由 f 1 一z f 1 恒成立知 抛物线 f z 关 于直线 z 1
8、 成轴对称图形 则当 0时 f 在 1 o 上 是 增 函 数 当 M 0时 由 f a b f C d 得 2 s i n z 1 c o s 2 x 2 即 c o s 2 0 2 0 0 5 年第 1 2期 数 学 通 讯 3 9 结 合 z o 解 得 号 z 芋 当 0 时 有 2 s i n z 1 0 解 得o z 号 或 荨 0时 原不等式解集为 z 1 i z 孚 当 m 0 时 解 集 为 z I o z 子 或 荨 z 7 说明 本题仅由题设条件是不能确定二次函数 f z 的表达式的 只需判断其单调性即可 例 6 设 O为 AA B C内任一点 S S B S c分 别表
9、示 B O C C O A A O B的面积 求证 SA SB Sc 0 讲解 由于三 角形面积 可用其 内角的正弦 表 示 因此本题实质上是一个向量与三角的综合题 设 B O C a C O A J 9 A O B y l e 2 e 分别表示 上的单位向量 则 S a d l s l 1 1 Is in a 同 理s 月 魂 1 i 蔬 I f 魂 I I l e s i n 口 s c 1 l I 1 i n y 因此 只需证明 e l s i n a e 2 s i n 口 e 3 s i n v 0 如 图 2 在 上 取点 D 使 e s i 过 点 D 作 魔 交 C O延长线
10、于 E 在 O D E 中 D O E 7 一口 OE D B O E 7 一 a ODE AOB 7 f一 由正弦定理 得 l D E l I O D l C s i n 一口 s i n 一a s i n 7 一y s i n 一a 即l D El s i n 口 l O E l s i n 7 图 2例 6图 魂 e 2 s in J9 e 3 s in 7 魂 茄 0 e l s i n a e 2 s i n e 3 s i n 7 0 故S A 赢 S B o t i S c 0 说明解答本题需要处 理好两个关键问题 一 是将向量与面积的恒等关系转化为向量与三角的恒 等式来证明 二
11、是构造 O D E 集 中变量 利用向量 加法的三角形法则证明这个恒等式 习 题 1 第 1 4 届希望杯数 学邀请赛试题 若向量 a c o s 2 n O s i n n 0 b 1 2 s i n 0 n N 则数列 l a b l 一1 A 是等差数列 B 是等比数列 c 既是等差数列又是等比数列 D 既不是等差数列又不是等比数列 2 已知 n z b x c 0是关于 Lr的一元二 次 方程 其 中 a b c 是非零向量 且 a与 b不共线 则 该方程 A 至少有一个根 B 至多有一个根 C 有两个不等的根 D 有无数个互不相同的根 3 已知两个向量集合 M a l a c o s
12、 a 4 一 C O S a a R N b l b c o s s i n 口 R 当 Mn N 时 实数 的取值范围是 4 已知直 角坐标平 面内 的两点 A 一1 0 B 1 0 点P 商 赢 成公差小于 零的等差数列 则 与菇 的夹角0的取值范围是 5 已知三个 向量 a 1 C O S s i n a b 1一 c o s fl s i n J 9 c 1 0 a 0 7 J9 7 2 7 且 a 与c的夹 角为 0 b与 c的夹角 为 0 若 0 一0 z 詈 求sin 的 值 6 在A A B C中 裔 n 蔬 6 百 c 已知 c b b a a c I 2 3 求 A B C三边之比
