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1、学习资料 精品文档 提分数学七年级上知识清单 第一章 有理数 一 正数和负数 正数和负数的概念 负数 比 0小的数正数 比 0 大的数0既不是正数 也不是负数 注意 字母 a 可以表示任意数 当 a 表示正数时 a 是负数 当 a 表示负数时 a 是正数 当 a 表示 0 时 a 仍是 0 如果出判断题为 带正号的数是正数 带负号的数是负数 这种说法是错误的 例如 a a 就不能做出简单判断 正数有时也可以在前面加 有时 省略不写 所以省略 的正数的符号是正号 2 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量 则负数可以表示具有与该正数相反意义的量 比如 零上 8 表示为 8 零下 8 表示为 8
2、 支出与收入 增加与减少 盈利与亏损 北与南 东与西 涨与跌 增长与降低等等是相对相反量 它们计数 比原先多了的数 增加增长了的数一般记为正数 相反 比原先少了的数 减少降低了的数一般记为负数 3 0 表示的意义 0表示 没有 如教室里有 0个人 就是说教室里没有人 0是正数和负数的分界线 0既不是正数 也不是负数 二 有理数 1 有理数的概念 正整数 0 负整数统称为整数 0和正整数统称为自然数 正分数和负分数统称为分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数都可以写成分数的形式 这样的数称为有理数 理解 只有能化成分数的数才是有理数 是无限不循环小数 不能写成分数形式 不是有理数 有限 小数和
3、无限循环小数都可化成分数 都是有理数 注意 引入负数以后 奇数和偶数的范围也扩大了 像 2 4 6 8 也是偶数 1 3 5 也是奇数 2 1 凡能写成 0pq p p q 为整数且形式的数 都是有理数 正整数 0 负整数统称整数 正分数 负 分数统称分数 整数和分数统称有理数 注意 0 即不是正数 也不是负数 a 不一定是负数 a 也不一定 是正数 不是有理数 学习资料 精品文档 2 有理数的分类 按正 负分类 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 按有理数的意义来分 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 总结 正整数 0统称为非负整数 也叫自然数
4、 负整数 0统称为非正整数 正有理数 0 统称为非负有理数 负有理数 0 统称为非正有理数 3 注意 有理数中 1 0 1 是三个特殊的数 它们有自己的特性 这三个数把数轴上的数分成四个区域 这四个区域的数也有自己的特性 4 自然数 0 和正整数 a 0 a 是正数 a 0 a 是负数 a 0 a 是正数或 0 a 是非负数 a 0 a 是负数或 0 a 是非正数 三 数轴 数轴的概念 规定了原点 正方向 单位长度的直线叫做数轴 注意 数轴是一条向两端无限延伸的直线 原点 正方向 单位长度是数轴的三要素 三者缺一不可 同一数轴上的单位长度要统一 数轴的三要素都是根据实际需要规定的 2 数轴上的
5、点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 正有理数可用原点右边的点表示 负有理数可用原点左边的点 表示 0用原点表示 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来 但数轴上的点不都表示有理数 也就是说 有理数与数轴上 的点不是一一对应关系 如 数轴上的点 不是有理数 3 利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较 右边的数总比左边的数大 正数都大于 0 负数都小于 0 正数大于负数 两个负数比较 距离原点远的数比距离原点近的数小 4 数轴上特殊的最大 小 数 学习资料 精品文档 最小的自然数是 0 无最大的自然数 最小的正整数是 1 无最大的正整数 最大的负整数是 1 无最小的负整数
6、5 a 可以表示什么数 a 0表示 a是正数 反之 a是正数 则 a 0 a 0表示 a是负数 反之 a是负数 则 a0时 a 0 正数的相反数是负数 学习资料 精品文档 当 a0 负数的相反数是正数 当 a 0时 a 0 0的相反数是 0 6 多重符号的化简 多重符号的化简规律 号的个数不影响化简的结果 可以直接省略 号的个数决定最后化简结果 即 的个数是奇数时 结果为负 的个数是偶数时 结果为正 五 绝对值 绝对值的几何定义 一般地 数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做 a的绝对值 记作 a 2 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是 0 可
7、用字母表示为 如果 a 0 那么 a a 如果 a 0 那么 a a 如果 a 0 那么 a 0 可归纳为 a 0 a a 非负数的绝对值等于本身 绝对值等于本身的数是非负数 a 0 a a 非正数的绝对值等于其相反数 绝对值等于其相反数的数是非正数 3 绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数 也就是说绝对值具有非负性 所以 a 取任何有理数 都有 a 0 即 1 正数的绝对值是其本身 0的绝对值是 0 负数的绝对值是它的相反数 注意 绝对值的意义是数 轴上表示某数的点离开原点的距离 绝对值是 0的数是 0 即 a 0 a 0 一个数的绝对值是非负数 绝对值最小的数是0 绝对值可表示为
8、 0a a 0a 0 0a a a或 0a a 0a a a 即 a 0 绝对值的问题经常分类讨论 任何数的绝对值都不小于原数 即 a a 0a1 a a 0a1 a a 绝对值是相同正数的数有两个 它们互为相反数 即 若 x a a 0 则 x a 互为相反数的两数的绝对值相等 即 a a 或若 a b 0 则 a b a 是重要的非负数 即 a 0 注意 a b a b b a b a 绝对值相等的两数相等或互为相反数 即 a b 则 a b或 a b 若几个数的绝对值的和等于 0 则这几个数就同时为 0 即 a b 0 则 a 0且 b 0 学习资料 精品文档 非负数的常用性质 若几个非
9、负数的和为 0 则有且只有这几个非负数同时为 0 4 有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小 数轴上的两个数相比较 左边的数总比右边的数小 或者右边的数总比左边 的数大 利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 异号两数比较大小 正数大于 负数 3 正数的绝对值越大 这个数越大 4 正数永远比 0大 负数永远比 0 小 5 正数大于一切负数 6 大数 小数 0 小数 大数 0 5 绝对值的化简 当 a 0时 a a 当 a 0 时 a a 6 已知一个数的绝对值 求这个数 一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离 一般地 绝对值为同一个正数的有理数有
10、两个 它们互为相反数 绝对值为 0的数是 0 没有绝对值为负数的数 六 有理数的加减法 1 有理数的加法法则 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两数相加 和为零 一个数与 0相加 仍得这个数 2 有理数加法的运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 在运用运算律时 一定要根据需要灵活运用 以达到化简的目的 通常有下列规律 互为相反数的两个数先相加 相反数结合法 符号相同的两个数先相加 同号结合法 分母相同的数先相加 同分母结合法 几个数相加得到整数 先相加
11、 凑整法 整数与整数 小数与小数相加 同形结合法 学习资料 精品文档 3 加法性质 一个数加正数后的和比原数大 加负数后的和比原数小 加 0 后的和等于原数 即 当 b 0时 a b a 当 b 0时 a b a 当 b 0时 a b a 4 有理数减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 用字母表示为 a b a b 5 有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中 根据有理数减法法则 可以将减法转化成加法后 再按照加法法则进行计算 在和式里 通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写 写成省略加号的和的形式 如 8 7 6 5 8 7 6 5 和式的读法 按这个式子表示的意义
12、读作 负 8 负 7 负 6 正 5 的和 按运算意义读作 负 8 减 7 减 6加 5 6 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧 把符号相同的加数相结合 同号结合法 33 18 15 1 23 原式 33 18 15 1 23 将减法转换成加法 33 18 15 1 23 省略加号和括号 33 15 1 18 23 把符号相同的加数相结合 49 41 运用加法法则一进行运算 8 运用加法法则二进行运算 把和为整数的加数相结合 凑整法 6 6 5 2 3 8 2 6 4 8 原式 6 6 5 2 3 8 2 6 4 8 将减法转换成加法 6 6 5 2 3 8 2 6 4 8 省略加号和
13、括号 6 6 2 6 5 2 4 8 3 8 把和为整数的加数相结合 4 10 3 8 运用加法法则进行运算 7 8 10 把符号相同的加数相结合 并进行运算 2 2 得出结论 把分母相同或便于通分的加数相结合 同分母结合法 5 3 2 1 4 3 5 2 2 1 8 7 原式 5 3 5 2 2 1 2 1 4 3 8 7 学习资料 精品文档 1 0 8 1 1 8 1 既有小数又有分数的运算要统一后再结合 先统一后结合 0 125 3 4 3 3 8 1 10 3 2 1 25 原式 8 1 3 4 3 3 8 1 10 3 2 1 4 1 8 1 3 4 3 3 8 1 10 3 2 1
14、 4 1 3 4 3 1 4 1 8 1 3 8 1 10 3 2 2 2 1 3 10 3 2 3 13 6 1 10 6 1 把带分数拆分后再结合 先拆分后结合 3 5 1 10 11 6 12 22 1 4 15 7 原式 3 10 12 4 5 1 15 7 11 6 22 1 1 15 4 22 11 1 30 8 30 15 30 7 分组结合 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 学习资料 精品文档 原式 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 0 先拆项后结合 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100 七 有理数的乘除法 1 有理数的乘法法
15、则 法则一 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 同号得正 异号得负 专指 两数相乘 的 情况 如果因数超过两个 就必须运用法则三 法则二 任何数同 0 相乘 都得 0 法则三 几个不是 0 的数相乘 负因数的个数是偶数时 积是正数 负因数的个数是奇数时 积是负数 法则四 几个数相乘 如果其中有因数为 0 则积等于 0 2 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数 其中一个数叫做另一个数的倒数 用式子表示为a a 1 1 a 0 就是说 a 和 a 1 互为倒数 即 a 是 a 1 的倒数 a 1 是 a的倒数 互为倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数 注意 0没有倒数 若 a 0 那么a的倒
16、数是 a 1 倒数是本身的数 是 1 若 ab 1 a b互为倒数 若 ab 1 a b 互为负倒数 注意 0 没有倒数 求假分数或真分数的倒数 只要把这个分数的分子 分母点颠倒位置即可 求带分数的倒数时 先把带分 数化为假分数 再把分子 分母颠倒位置 正数的倒数是正数 负数的倒数是负数 求一个数的倒数 不改变这个数的性质 倒数等于它本身的数是 1或 1 不包括 0 3 有理数的乘法运算律 乘法交换律 一般地 有理数乘法中 两个数相乘 交换因数的位置 积相等 即ab ba 乘法结合律 三个数相乘 先把前两个数相乘 或者先把后两个数相乘 积相等 即 ab c a bc 乘法分配律 一般地 一个数同两个数的和相乘 等于把这个数分别同这两个数相乘 在把积相加 即 a b c ab ac 4 有理数的除法法则 1 除以一个不等 0的数 等于乘以这个数的倒数 注意 零不能做除数 无意义即 0 a 学习资料 精品文档 2 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0除以任何一个不等于 0 的数 都得 0 5 有理数的乘除混合运算 1 乘除混合运算往往先将除法化成乘法 然后确定积的符号 最后求出
