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1、等差乘等比型数列的两种另类解法周欣孟（重庆市巴蜀中学）【摘要】：对于等差乘等比型数列前项和而言，很多老师在教学时惯用的方法为错位相减法，但错位相减法计算量大，化简繁琐，极易出错。本文给出另外两种求等差乘等比型数列前项和的方法：导数法和裂项相消法，进一步提高学生的思维能力。【关键词】：等差乘等比型数列，导数法，裂项相消法数列的通项公式为，其中数列是等差数列，数列是公比不为1的等比数列，形如这样的数列，我们形象地把它称为等差乘等比型数列。求这类数列前项和时，我们往往采用错位相减法来处理，基本步骤为：乘公比错位相减化简。但此方法计算量大，化简过程也较繁琐，一不小心就会出错。本文将采取求导、裂项相消两
2、种方法来处理这类等差乘等比型数列。【问题】：数列是首相为，公差为的等差数列，数列是首相为，公差为的等比数列，且，是数列的前项和，求.【另解一】：导数法由题意：，则： 令：，则：对求导：，带入即得：.【另解二】：裂项相消法引理一 若数列的通项公式为，其中数列是等差数列，数列是公比不为1的等比数列，则数列也是等差乘等比型数列。证明：设等差数列首相为，公差为；等比数列首相为，公差为。则： 令：，显然：是以为首项，为公差的等差数列。于是：，即证。由引理一，我们可以猜想，任何一个等差乘等比型数列可以拆分为一个新的等差乘等比型数列相邻两项之差。引理二（裂项公式） 若数列的通项公式为，其中数列是等差数列，数列是公比不为1的等比数列，则存在一列等差数列，使得，其中等差数列的首相和公差分别为，.证明：（待定系数法）由可得：等价于则：即证。由引理二，我们很容易就可以得到等差乘等比型数列的前项和的公式：.下面我们用一个具体例子来说明这两种解法在实际操作中的应用。【例题】（2012年浙江（文）第19题改编）已知数列的前项和为，且，数列满足.（1）求，；（2）求数列的前项和.解：（1）由，得：当时，；当时，.由，得，.（2）由（1）知，.以下用三种方法解答，解法一：错位相减法（略），由读者自行证明。解法二：导数法由之前推导的公式：，带入可得：，.解法三：裂项相消法由裂项公式知，则：.
