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1、第二章分离变量法 上 物理学 力学 工程科学甚至经济和社会科学中等许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题 第二章中我们讨论了怎样将一个物理问题表达为定解问题 这一章以及以下几章的任务是怎样去求解这些定解问题 也就是说在已经列出方程和定解条件之后 怎样去求既满足方程又满足定解条件的解 从微积分学得知 在计算诸如多元函数的微分和积分 重积分等 时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决 与此类似 求解偏微分方程的定解问题也可以设法把它们转化为常微分方程的定解问题来求解 分离变量法就是这样一种常用的转化方法 在这一章中 我们将通过一些实例 讨论分离变量法及其应用 2 1 1 1 维齐次方程的分离变
2、量法 一 有界弦的自由振动由第2章的讨论可知 讨论两端固定弦的自由振动规律问题可以归结为求解下列定解问题 这个问题的特点是 偏微分方程是线性齐次的 边界条件也是齐次的 求解这样的问题可以运用叠加原理 我们知道 在求解常系数齐次常微分方程的初值问题时 是在先不考虑初始条件的情况下 求出满足方程的足够多的特解 再利用叠加原理做出这些特解的线性组合 构成方程的通解 然后利用初始条件来确定通解中的任意常数 得到初值问题的特解 这就启发我们要求解定解问题 2 1 1 2 1 3 须首先寻求齐次方程 2 1 1 满足边界条件 2 1 2 的足够多的具有简单形式 变量被分离的形式 的特解 再利用它们做线性组
3、合 得到方程满足边界条件的一般解 再使这个一般解满足初始条件 2 1 3 这种思想方法 还可以从物理模型中得到启示 从物理学知道 乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的声音 每种频率的单音 振动时形成正弦曲线 其振幅依赖于时间t 每个单音可以表示为的形式 这种形式的特点是u x t 中的变量x和t被分离出来了 根据上面的分析 我们来求方程 2 1 1 的具有变量分离形式 2 1 4 的非零解 并要求它满足齐次边界条件 2 1 2 式中X x T t 分别表示只与x有关和只与t有关的待定函数 将式 2 1 4 代入方程 2 1 3 由 得 或 这个式子的左端仅是x的函数 右端仅是t的函数 一般情
4、况下两者不可能相等 只有当它们均为常数时才能相等 令此常数为 则有 这样 我们得到两个常微分方程 利用边界条件 2 1 2 由于有 2 1 4 2 1 5 但 与要求非零解矛盾 所以 因此 要求方程 2 1 1 满足边界条件 2 1 2 的变量分离形式的解 就先要从下列常微分方程的边值问题 解出 2 1 7 方程 2 1 6 包含一个待定任意常数 因此我们的任务是要确定取何值时方程 2 1 6 才有满足条件 2 1 7 的非零解 又要求出这个非零解X x 这样的问题称为常微分方程 2 1 6 在条件 2 1 7 下的本征值问题 也称固有值问题或特征值问题 使问题 1 6 2 1 7 有非零解的
5、称为该问题的本征值 也称固有值或特征值 相应的非零解X x 称为本征函数 也称固有函数或特征函数 下面我们对取值的三种情况进行讨论 1设 这时方程 2 1 6 的通解为也可以用数学软件Maple求解 ode diff X x x 2 k 2 X x 0 dsolve ode 结果是一样的 式中A B 或 为积分常数 由条件 2 1 7 得 由此解得A B 0 即X x 0 为平凡解 不符合非零解的要求 故不可能有 2设时 方程 2 1 5 的通解是由边界条件 2 1 6 仍得A B 0 即X x 0 为平凡解 故也不可能 3设时 此时方程 2 1 6 的通解可由Maple求出 ode diff
6、 X x x 2 beta 2 X x 0 dsolve ode 即方程 2 1 6 的通解为 代入条件 2 1 7 得 由于 否则 故即 n为负整数的情况可以不必考虑 因为例如的形式 从而得到一系列固有值与固有函数 确定了固有值之后 将它代入到常微分方程 2 1 5 用Maple得其通解为 ode diff T t t 2 a 2 n 2 Pi 2 l 2 T t 0 dsolve ode 即 2 1 11 于是由式 2 1 9 和 2 1 10 得到满足方程 2 1 1 和边界条件 2 1 2 的一组变量分离形式的特解 其中 至此我们的第一步工作完成了 求出了既满足方程 2 1 6 又满足
7、边界条 2 1 7 的无穷多个非零特解 2 1 11 为了求出原问题的解 还须满足初始条 2 1 3 为此将 2 1 11 中的所有函数 2 1 12 是任意常数 叠加 起来 得 由叠加原理可知 如果式 2 1 12 右端的无穷级数是收敛的 而且关于x和t都能逐项微分两次 则它的和u x t 也满足方程 2 1 1 和边界条件 2 1 2 现在要适当选择 也满足初始条件 2 1 3 为此必须有 2 1 13 使函数u x t 因为 是定义在 0 l 上的函数 为 级数展开式的系数 正弦级数展开式的系数即可 也就是取 初始条件 2 1 3 就能满足 所以只要选取 的Fourier正弦 的Four
8、ier 2 1 14 将式 2 1 14 所确定的 2 1 12 就得到了原问题的解 代入到式 从上述求解偏微分方程的方法来看 一般情况下 是先求形式解 然后在一定条件下验证这个形式解就是古典解 这个验证的过程称为综合工作 鉴于篇幅和讲授时间的限制 也因为本书中所讨论的问题都是经典问题 在今后的叙述中 都不去做这个综合工作 也不去讨论所得的形式解成为古典解时需要附加的条件 只要求得了形式解 就认为问题得到了解决 从前面的运算过程可以看出 用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数和运用叠加原理 这些运算之所以能够进行 是因为所讨论的偏微分方程和边界条件都是线性齐次的 这是使用分离变量法的
9、基础 希望读者注意 例1解下列定解问题 解这里所考虑的方程仍是式 2 1 1 所不同的只是在这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件 而是第二类齐次边界条件 因此 通过分离变量 即令的步骤后 仍得到方程 2 1 5 与 2 1 6 但条件 2 1 7 应代之以 2 1 7 相应的固有值问题为求的非零解 重复前面的讨论可知 只有当时 上述固有值问题才有非零解 此时式 2 1 6 的通解仍为 代入条件 2 1 7 得 从而得到一系列固有值与固有函数 与这些固有值相对应的方程 2 1 5 的通解为 于是 所求定解问题的解可表示为 利用初始条件确定其中的任意常数得 这个积分可用Maple计算 c n 2
10、 l int x 2 2 l x sin 2 n 1 Pi x 2 l x 0 l factor 8 n 3 12 n 2 6 n 1 因为 sin 故可知 因此 所求定解问题的解为 在上面定解问题的求解过程中 我们看到求解本征值问题和确定形式解中的任意常数是关键 本征值问题与所给的边界条件有关 而确定常数主要是计算初始函数的Fourier展开系数 这两个关键步骤可以借助于数学软件 比如在上述积分结果中令 和使 也可以在Maple中完成 只要在Maple中输入命令 res1 int x 22 l x sin 2 n 1 Pi x 2 l x 0 l res2 subs sin Pi n 0 r
11、es1 的过程 factor 8 n 3 12 n 2 6 n 1 等等 借助于计算机的帮助 我们可以节省大量原来用来计算的时间来思考问题本身 为了加深理解 我们来分析一下级数形式解 2 1 12 的物理意义 先分析级数的每一项的物理意义 分析的方法是 先固定时间t 看看在任意指定时刻波形是什么形状 再固定弦上一点 看看该点的振动规律 把上式括号内的式子改变一下形式 得 其中 当时间t取固定值时 得 其中是一个定值 这表示在任意时刻 波形都是一些正弦曲线 只是它们的振幅随着时间的改变而改变 当弦上任意一点的横坐标x取定值时 得 其中是一个定值 这说明弦上以点为横坐标的点作简谐振动 其振幅为若x
12、取另外一个定值 情况也一样 所以表示这样一些振动波 弦上各点以同样的角频率作简谐振动 各点的初位相也相同 而各点的振幅则随位置的改变而改变 此振动波在任意时刻的外形是一条正弦曲线 这种振动还有一个特点 在范围内还有n 1个点 包括两个端点 永远保持不动 这是因为在的缘故 这些点在物理上称为节点 这也说明的振动是在范围内的分段振动 其中有n 1个节点 人们把这种包含节点的振动波叫做驻波 另外驻波还有n点达到最大值 读者可以自己讨论 这种使振动达到最大值的点叫做腹点 图2 1 1是用Maple画出的在某一时刻t n 1 2 3时的驻波形状 而在时间段内 n 1 2 3时 立体形式的驻波见图2 1
13、2 综上所述 可知是一系列驻波 它们的频率 位相与振幅都随n不同而不同 因此我们可以说 一维波动方程用分离变量法解出的解是由一系列驻波叠加而成的 而每一个驻波的波形由固有函数确定 它的频率由固有值确定 这完全符合实际情况 因为人们在考察弦的振动时 就发现许多驻波 他们的叠加又可以构成各种各样的波形 因此很自然的会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解 这就是分离变量法的物理背景 所以分离变量法又称驻波法 plot sin Pi x sin 2 Pi x sin 3 Pi x x 0 1 plot3d cos t Pi 2 sin Pi x t 0 10 x 0 1 plot3d cos t Pi
14、2 sin 2 Pi x t 0 10 x 0 1 plot3d cos t Pi 2 sin 3 Pi x t 0 10 x 0 1 二 有限长杆上的热传导设有一个均匀细杆 长为l 两端点的坐标为x 0 x l 杆的侧面是绝热的 且在端点x 0处温度为零度 而在另一端x l处杆的热量自由地发散到周围温度是零度的介质中去 参考 2 2解中第三类边界条件 并注意到在杆的x l端的截面上 外法线方向就是x轴的正方向 已知初始温度为 求杆上的温度变化规律 问题可以化为求解下列定解 我们仍用分离变量法来求解这个问题 首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解 为此设 代入到方程 2 1 15 得
15、2 1 19 和 2 1 20 其中 对的情况 可以像2 1 1那样进行讨论 得知当时 方程没有满足边界条件的非零解 为待定常数 由边界条件 得式 2 1 19 和 2 1 21 构成本征值问题 现求解之 2 1 21 式 2 1 19 的通解为 2 1 22 考虑边界条件 2 1 21 由得因为 有 2 1 23 为了求出 并将 2 1 23 写成 2 1 24 其中 方程 2 1 24 的解可以看作曲线交点的横坐标 图2 1 3 显然 由于函数tanx为周期函数 故这样的交点有无穷多个 即方程 2 1 24 有无穷多个根 由这些根可以确定出固有值 设方程 2 1 24 的无穷多个正根 不取
16、负根是由于负根与正根只差一个符号 见图2 1 3 再根据 2 1 1节中所述的同样理由 依次为 于是得到固有值问题 2 1 19 和 2 1 21 的无穷多个固有值 和相应的固有函数 plot tan x 1 2 x x 10 10 y 10 10 将得到的固有值代入到 2 1 20 用Maple求解 dsolve diff T t t a 2 lambda n T t 0 即 代入式 2 1 18 得到方程 2 1 15 满足边界条件 2 1 16 的一组特解 其中是待定常数 由于方程 2 1 15 和边界条件 2 1 16 都是线性齐次的 所以上述解的叠加 仍然满足方程和边界条件 最后考虑u x t 能否满足初始条件 2 1 17 由式 2 1 26 得 现在希望它等于已知函数 那么首先要问在上能否展开为的级数形式 其次要问系数如何确定 关于前者只要在上满足Dirichlet条件即可 关于求系数的问题 回忆Fourier展开系数的得来是根据三角函数系在上的正交性 可以证明三角函数系在上是正交的 即 现在设 为求系数 用乘上式两边 并在上积分 设右边的级数收敛并可以逐项积分 得 由三
