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1、数学分析 1 期末考试试卷 B卷 一 填空题 本题共5 个小题 每小题4 分 满分 20 分 1 设 01 1 1 1 n n xx x 则lim n n x 2 归结原则 设 0 o f xUx在 内有定义 0 lim xx f x存在的充要条 件是 3 设 1ln 2 xxy 则dy 4 当x时 函数 2 x f xx取得极小值 5 已知 xf的一个原函数是 cosx x 则 xfx dx 二 单项选择题 本题共5 个小题 每小题4 分 满分 20 分 1 设 232 xx f x 则当0 x时 A f xx与是等价无穷小 B f xx与是同阶但非等 价无穷小 C f xx为的高阶无穷小量
2、 D f xx为的低阶无穷小 量 2 设函数 f xxa在点处可导 则函数 f x在xa处不可导的充 分条件是 A 0 0 f afa且 B 0 0 f afa且 C 0 0 f afa且 D 0 0 f afa且 3 若 xxfxf在 0 内0 0 xfxf 则 xf在 0 内有 A 0 0 xfxf B 0 0 xfxf C 0 0 xfxf D 0 0 xfxf 4 设 xf的导数在xa处连续 又 lim1 xa fx xa 则 A xa是 xf的极小值 B xa是 xf的极大 值 C a f a是曲线 yf x的拐点 D xa不是 xf的极值 点 a f a也不是曲线 yf x的拐点
3、5 下述命题正确的是 A 设 xf和 g x在 0 x处不连续 则 f x g x在 0 x处也不连续 B 设 g x在 0 x处连续 0 0f x 则 0 lim 0 xx f x g x C 设存 在0 使 当 00 xxx时 f xg x 并 设 0 lim xx f xa 0 lim xx g xb 则必有ab D 设 00 lim lim xxxx f xag xb ab 则 存 在0 使 当 00 xxx时 fxg x 三 计算题 本题共6 个小题 每小题5 分 满分 30 分 1 1 1 cos 0 sin lim x x x x 求 2 20 sin1 lim 11 x x e
4、x x 求 3 给定p个正数 1 1212 lim nnn n pp n a aaaaaLL求 4 设 22 1sin arcsin 0 sin axb yab abx ab 其中 求y 5 求不定积分 12 2 x dx xx 6 求不定积分dx x xx 3 cos sin 四 证明下列各题 本题共3 个小题 每小题6 分 满分 18 分 1 试用语言证明极限 2 2 lim4 x x 2 证明方程0 n xpxqnpq为正整数 为实数 当n为奇数时最多 有三个实根 3 试用拉格朗日中值定理证明 当0 x时 11 01 ln 1 xx 五 本题 8 分 设 f x 在上二阶导数连续 0 0
5、f 0 0 f x x g x x ax 1 确定 ag x使在 上连续 2 证明对以上确定的 a g x 在 上有连续的一阶导函数 六 本题 4 分 设 f x在 a上连续 且lim x f xA存在 证明 f x在 a上有 界 答案 一 填空题 本题共5 个小题 每小题4 分 满分 20 分 1 设 01 1 1 1 n n xx x 则 lim n n x 51 2 2 归结原则 设 0 o f xUx在内有定义 0 lim xx f x存在的充要条 件是 对任何含于 0 0 Ux且以 0 x为极限的数列 n x 极限lim n f x都存在且 相等 3 设 1ln 2 xxy 则dy
6、2 1 dx x 4 当x 1 ln 2 时 函数 2 x f xx取得极小值 5 已知 xf的一个原函数是 cosx x 则 xfx dx cos sin2 x xC x 二 单项选择题 本题共5 个小题 每小题4 分 满分 20 分 1 设 232 xx f x 则当0 x时 B A f xx与是等价无穷小 B f xx与是同阶但非等 价无穷小 C f xx为的高阶无穷小量 D f xx为的低阶无穷小 量 2 设函数 f xxa在点处可导 则函数 f x在xa处不可导的充 分条件是 C A 0 0 f afa且 B 0 0 f afa且 C 0 0 f afa且 D 0 0 f afa且
7、3 若 xxfxf在 0 内0 0 xfxf 则 xf在 0 内有 C A 0 0 xfxf B 0 0 xfxf C 0 0 xfxf D 0 0 xfxf 4 设 xf的导数在xa处连续 又 lim1 xa fx xa 则 B A xa是 xf的极小值 B xa是 xf的极大 值 C a f a是曲线 yf x的拐点 D xa不是 xf的极值 点 a f a也不是曲线 yf x的拐点 5 下述命题正确的是 D A 设 xf和 g x在 0 x处不连续 则 f x g x在 0 x处也不连续 B 设 g x在 0 x处连续 0 0f x 则 0 lim 0 xx f x g x C 设存 在
8、0 使 当 00 xxx时 f xg x 并 设 0 lim xx f xa 0 lim xx g xb 则必有ab D 设 00 lim lim xxxx f xag xb ab 则 存 在0 使 当 00 xxx时 fxg x 三 计算题 本题共6 个小题 每小题5 分 满分 30 分 1 解 0 1 1sin1sin ln limln 1 cos 1 cos1 cos 00 sin limlim x xx x xxxx xx x ee x 2 分 22 000 1sincossincossincos1 limln limlim 1cossin33 xxx xxxxxxxx xxxxx Q
9、 4 分 1 1 1 cos 3 0 sin lim x x x e x 5 分 2 解 2 2000 sin11 cos limlimlim sin 1 11 xx x xxx exxex ex x x 5 分 3 给定p个正数 1 1212 lim nnn n pp n a aaaaaLL求 解 设 12 1 max jp jp aa aaL 则由迫敛性可知 1111 12 nnnnn nnnn jjpjj aaaaapap aL 4 分 1 1212 1 limmax nnn n pp njp aaaa aaLL 5 分 4 设 22 1sin arcsin 0 sin axb yab
10、abx ab 其中 求y 2 222 11cos sin sin cos sin sin 1 sin cos 5 sincos ax abxaxb bx y abx ab axb abx x abxx L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 解 分 5 求不定积分 12 2 x dx xx 2 22 2 2 22 22 1 8 2 21 1 1 2 2 124 ln 21 2 2 1 1 2 2arctan 5 2 xtt txdxdt xt t xxxt dxdt xxxxtt x C x L L L L L L L L L L L L L L L L
11、 L L L L L L L L 解 令则有分 分 6 求不定积分dx x xx 3 cos sin 2 22 33 2 sin cos cos1 secsec coscos22 1 sectan 5 2 xxxdxx dxxdxxxdx xx xxxCL L L L L L L L L L L L L L L L L 解 分 四 证明下列各题 本题共3 个小题 每小题6 分 满分 18 分 1 试用语言证明极限 2 2 lim4 x x 2 2 22 2 422 21 422523 0 min 1 2 5 4 lim4 x xxxx xxxx x xx L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 证明 考察不妨设 则 分 所以 取当0M时 x 1 以因 f 在 上连续 故存在最大值M与最小值 m 现取max 1 MAMm 则有 x M 故f x 在 a 上有 界 4 分
