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1、导数的概念 3 1导数的概念 1 曲线的切线 如图 曲线C是函数y f x 的图象 P x0 y0 是曲线C上的任意一点 Q x0 x y0 y 为P邻近一点 PQ为C的割线 PM x轴 QM y轴 为PQ的倾斜角 P Q 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 我们发现 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限
2、要注意 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限位置来判断与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 先利用切线斜率的定义求出切线的斜率 然后利用点斜式求切线方程 例2 已知曲线上一点P 1 2 用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程 故过点P的切线方程为 y 2 1 x 1 即y x 1 练习 求曲线上一点P 1 1 处的切线方程 答案 y 3x 4 2 瞬时速度 已知物
3、体作变速直线运动 其运动方程为s s t 表示位移 t表示时间 求物体在t0时刻的速度 如图设该物体在时刻t0的位置是 t0 OA0 在时刻t0 t的位置是s t0 t OA1 则从t0到t0 t这段时间内 物体的位移是 在时间段 t0 Dt t0 Dt内 物体的平均速度为 平均速度反映了物体运动时的快慢程度 但要精确地描述非匀速直线运动 就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度 也即需要通过瞬时速度来反映 如果物体的运动规律是s s t 那么物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时的平均速度 例1 物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g
4、10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 即物体在时刻t0 2 s 的瞬时速度等于20 m s 当时间间隔 t逐渐变小时 平均速度就越接近t0 2 s 时的瞬时速度v 20 m s 练习 某质点沿直线运动 运动规律是s 5t2 6 求 1 2 t 2 t这段时间内的平均速度 这里 t取值范围为1 2 t 2时刻的瞬时速度 3 导数的概念 从上面两个实例 一个是曲线的切线的斜率 一个是瞬时速度 具体意义不同 但通过比较可以
5、看出它们的数学表达式结构是一样的 即计算极限 这就是我们要学习的导数的定义 定义 设函数y f x 在点x0处及其附近有定义 当自变量x在点x0处有改变量 x时函数有相应的改变量 y f x0 x f x0 如果当 x 0时 y x的极限存在 这个极限就叫做函数f x 在点x0处的导数 或变化率 记作即 如瞬时速度就是位移函数s t 对时间t的导数 是函数f x 在以x0与x0 x为端点的区间 x0 x0 x 或 x0 x x0 上的平均变化率 而导数则是函数f x 在点x0处的变化率 它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度 如果函数y f x 在点x x0存在导数 就说函数y f x 在点
6、x0处可导 如果极限不存在 就说函数f x 在点x0处不可导 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 例1 1 求函数y x2在x 1处的导数 2 求函数y x 1 x在x 2处的导数 如果函数y f x 在区间 a b 内每一点都可导 就说函数y f x 在区间 a b 内可导 这时 对每一个x a b 都有唯一确定的导数值与它对应 这样在区间 a b 内就构成一个新的函数 这个新的函数叫做函数f x 在区间 a b 内的导函数
7、记作 即 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 如果函数y f x 在点x0处可导 那么函数在点x0处连续 求函数y f x 的导数可分如下三步 4 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率是 故曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程是 例1 设f x 为可导函数 且满足条件 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 故所求的斜率为 2 例2 如图 已知曲线 求 1 点P处的切线的斜率 2 点P处的切线方程 即点P处的切线的斜率等于4 2
8、 在点P处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 例1 判断下列各命题的真假 1 已知函数y f x 的图象上的点列P1 P2 P3 Pn 则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数 答 由函数在点P0处的导数的几何意义知 函数在点P0处的导数是过P0点曲线 即函数y f x 的图象 的切线的斜率 而不是割线P0Pn的斜率 故它是一个假命题 2 若物体的运动规律是S f t 则物体在时刻t0的瞬时速度V等于 答 由于它完全符合瞬时速度的定义 故它是一个真命题 3 若函数y f x 的定义域为A 则对任一只要函数在x0处连续 则就必存在 5 例题选讲 答 它是一
9、个假命题 例如 函数在x 0处连续 但它在x 0处的导数不存在 4 设是函数y f x 的图象上的三点 且函数在P1 P2 P3三点处的导数均存在 若 则必有 答 由于f x 的导函数未必是单调增函数 因此 不一定成立 例如f x x3 则显然有故是假命题 说明 要正确判断命题的真假 需真正理解 曲线在点P处切线的斜率 瞬时速度 连续与可导等概念 还要把握好要确定一个命题为真命题 则需给出论证 而要给出否定的结论 举一个反例就足够了 例2 设函数f x 在点x0处可导 求下列各极限值 分析 利用函数f x 在点x0处可导的条件 将题目中给定的极限恒等变形为导数定义的形式 注意在导数定义中 自变
10、量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 例3 证明 1 可导的偶函数的导函数为奇函数 2 可导的奇函数的导函数为偶函数 证 1 设偶函数f x 则有f x f x 2 仿 1 可证命题成立 在此略去 供同学们在课后练习用 练习1 设函数f x 在点x0处可导 求下列各极限值 练习2 设函数f x 在点x a处可导 试用a f a 和 例4 判断函数y 3x 1 在x 1 3处是否可导 从而函数y 3x 1 在x 1 3处不可导 注 这是一个函数在某点连续但不可导的例子 练习3 函数f x x 1 x 在点x0 0处是否有导数 若有 求出来 若没有 说明
11、理由 故函数f x x 1 x 在点x0 0处没有导数 即不可导 6 小结 a 导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念 要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质 学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态 b 要切实掌握求导数的三个步骤 1 求函数的增量 2 求平均变化率 3 取极限 得导数 c 弄清 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 之间的区别与联系 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f x 的导函数 3 如果函数
12、y f x 在开区间 a b 内每一点都可导 就说函数y f x 在开区间 a b 内可导 这时 对于开区间内每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数 这样就在开区间 a b 内可构成一个新的函数 称作f x 的导函数 4 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 d 函数f x 在点x0处有导数 则在该点处函数f x 的曲线必有切线 且导数值是该切线的斜率 但函数f x 的曲线在点x0处有切线 而函数f x 在该点处不一定可导 如函数在x 0处有切线 但不可导 e 求切线方程的步骤 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 f 无限逼近的极限思想是建立导数概念 用导数定义求函数的导数的基本思想 丢掉极限思想就无法理解导数概念
