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1、第3讲解答题的做法 1 高考数学解答题的基本题型我们认真分析近几年各省市高考数学试题 虽略有差别 但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变 分别为三角函数 平面向量型解答题 立体几何型解答题 概率型解答题 函数与不等式型解答题 解析几何型解答题 数列型解答题 这是高考数学的重头戏 这部分内容包含的知识容量大 解题方法多 综合能力要求高 它们突出了中学数学的主要思想和方法 考查了考生的创新能力和创新意识 2 高考数学解答题的答题策略 1 审题要慢 解答要快 审题是整个解题过程的 基础工程 题目本身是 怎样解题 的信息源 必须充分搞清题意 综合所有条件 提炼全部线索 形成整体认识 2 确保运算准确
2、 立足一次成功 3 讲求书写规范 力争既对又全 这就要求考生在面对试题时不但会而且要对 对而且全 全而规范 4 面对难题 讲究策略 争取得分 会做的题目当然要力求做对 做全 得满分 而对于不能全部完成的题目应 缺步解答 跳步解答 解题过程卡在其一中间环节上时 可以承接中间结论 往下推 或直接利用前面的结论做下面的 2 3 问 总之 对高三学子来说 准确 规范 速度 高考必胜 刻苦 坚韧 自信 势必成功 一 三角函数 平面向量型解答题 三角函数和平面向量不仅是数学的重要基础知识 同时也是解决其他问题的一种数学工具 若三角函数单独命题则一般考查求三角函数值 三角函数图象和性质 三角形中的三角函数问
3、题 都属于难度较小的题目 而平面向量作为中学教材新增内容 是高考的必考内容 尤其是平面向量的运算 数量积 既有代数形式的计算又有一定的几何意义 能够体现重要的数形结合思想 所以更是高考中的热点内容 高考命题者常在平面向量与三角函数 解析几何等知识交汇处命题 例1已知向量a 4cosB cos2B 2cosB b sin2 1 f B a b 1 若f B 2 且02恒成立 求实数m的取值范围 思维启迪 1 由向量数量积的运算 三角函数化简求出f B 的最简表达式 2 求角的范围是关键 解 1 f B a b 4cosB sin2 cos2B 2cosB 2cosB 1 cos2 cos2B 2
4、cosB 2cosB cos B cos2B 2cosBsinB cos2B sin2B cos2B 2sin 2B f B 2 2sin 2B 2即sin 2B 1 B 0 2B 2B B 2 由 1 知f B 2sin 2B 又02恒成立 m f B 2恒成立 m 2即m 2 探究提高在处理不等式恒成立问题时 求字母的取值范围是高考的一个重点 处理这类问题时也体现着转化的思想 如本题中若f B m 2恒成立 则问题应转化为求f B 的最小值t 若f B m 2恒成立 则问题应转化为求f B 的最大值t 变式训练1 2009 湖南文 16 已知向量 1 若a b 求tan的值 2 若 a b
5、 0 求的值 解 1 因为a b 所以2sin cos 2sin 于是4sin cos 故tan 二 概率 统计型解答题 概率 统计型解答题一般是以实际问题为背景 考查概率统计知识的实际应用 是近年来高考考查应用问题的一个主要命题点 这类试题的命题背景十分广泛 既可以是高中数学的某些常规知识点 也可以是当前的社会热点问题 但考查的主要问题是概率统计的基础知识和基本方法 解决概率统计型解答题 分析问题的实际意义 把实际问题中所蕴含的数学关系找出来是十分重要的 这往往成为能不能解答这类题目的关键 同时要注意准确地使用概率统计的基础知识和基本方法 例2 2009 山东文 19 汽车厂生产A B C三
6、类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 某月的产量如下表 单位 辆 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆 其中有A类轿车10辆 1 求z的值 2 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本 将该样本看成一个总体 从中任取2辆 求至少有1辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆 经检测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这8辆轿车的得分看成一个总体 从中任取一个数 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0 5的概率 思维启迪 分层抽样的概念 古典概型 列举法确定样本空间 解 1 设该厂这个月共生产轿车
7、n辆 则z 2000 100 300 150 450 600 400 2 设所抽样本中有a辆舒适型轿车 因此抽取的容量为5的样本中 有2辆舒适型轿车 3辆标准型轿车 用A1 A2表示2辆舒适型轿车 用B1 B2 B3表示3辆标准型轿车 用E表示事件 在该样本中任取2辆 其中至少有1辆舒适型轿车 则基本事件空间包含的基本事件有 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 共10个 事件E包含的基本事件有 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 共7个 设D表示事件 从样本中任取
8、一数 该数与样本平均数之差的绝对值不超过0 5 则基本事件空间中有8个基本事件 事件D包括的基本事件有 9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0 共6个 所以 变式训练2某工厂有工人1000名 其中250名工人参加过短期培训 称为A类工人 另外750名工人参加过长期培训 称为B类工人 现用分层抽样方法 按A类 B类分二层 从该工厂的工人中共抽查100名工人 调查他们的生产能力 生产能力指一天加工的零件数 1 A类工人中和B类工人中各抽查多少工人 2 从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2 先确定x y 再在答题纸上完成下列频率分布直方图 就生产能力而言 A类工人
9、中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小 不用计算 可通过观察直方图直接回答结论 A类工人生产能力的频率分布直方图 分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数 并估计该工厂工人的生产能力的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 B类工人生产能力的频率分布直方图 解 1 A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名 2 由4 8 x 5 3 25 得x 5 6 y 36 18 75 得y 15 频率分布直方图如下 A类工人生产能力的频率分布直方图 B类工人生产能力的频率分布直方图 从直方图可以判断 B类工人中个体间的差异程度更小A类工人生产能力的平均数 B类工人生产能力的平
10、均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123 133 8和131 1 三 数列型解答题 数列问题中蕴含着丰富的思想方法 是考查考生数学素养的良好素材 数列解答题历来为高考命题者所青睐 这些新型的数列解答题往往背景新颖 结构简明 数学关系式对称优美 而涉及的知识仅仅是高中数学中所讲的数列的基本问题 解决问题的方法也是考生所熟悉的 这类试题也往往是整套试卷的压轴题 解决这类试题除了灵活地使用基础知识外 更重要的是要灵活地使用数学的各种推理论证方法 用数学思想方法作指导灵活地解决问题 例3已知数列 an 的前n项和为Sn且a1 an 2SnSn 1 n 2 1 数列 是否为等差数列 请证明你
11、的结论 2 求Sn和an 3 求证 思维启迪 1 利用等比数列的定义 2 an Sn Sn 1 注意验证n 1时的情况 3 放缩与裂项 1 解当n 2时 an Sn Sn 1由已知得 Sn Sn 1 2SnSn 1 又 a1 Sn与Sn 1不可能为0 式可化为 即 n 2 是等差数列 公差d 2 2 解由 1 知 n 1 2 n 1 2 2n Sn 当n 2时 an Sn Sn 1 an 3 证明由 2 知 Sn 当且仅当n 1时等号成立 探究提高 1 已知数列的前n项和 求通项公式的方法步骤 在已知条件中令n 1 求出a1 S1 当n 2时 an Sn Sn 1 求出an 验证第 步求出的通
12、项公式是否符合第一项 若符合写在一起 若不符合 应用分段的形式写 2 利用an与Sn的关系解题是近几年高考重点考查的内容之一 由an f Sn 可求an 也可求Sn 关键是用an Sn Sn 1 n 2 来转化 若想求an 则用an表示式子中的Sn 使条件等式转化为关于an的等式 若想求Sn 则用Sn表示式子中an 使条件等式转化为关于Sn的等式 在解题过程中 向哪个方向转化简单 应视题目而定 具体问题 具体分析 变式训练3 2009 山东 20 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知对任意的n N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2
13、 当b 2时 记 n N 求数列 bn 的前n项和Tn 解 1 由题意 Sn bn r 当n 2时 Sn 1 bn 1 r 所以an Sn Sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 四 立体几何型解答题 立体几何的考查 主要有两类新题型 一是将空间几何体的直观图 三视图引进解答题中 在考查对空间几何体结构认识的前提下 综合性地考查对空间几何体的体积 表面积的计算 考查空间线面位置关系 角与距离的计算 这类试题以 图 引入 背景新颖 对考生的空间想象能力有较高要求 二是在考查立体几何基本问题的前提下 将试题设计为
14、 探索性 的类 型 改变了给出明确结论让考生证明的局面 这类试题由于结论不明确 对考生的数学素养有较高要求 要想解决好如上所述的立体几何新型试题 除了牢固掌握好立体几何的基础知识和基本方法外 还要在空间想象能力 数学思想方法等方面下一番工夫 只有这样考生才能面对新题型得心应手 将新题型转化为所熟悉的常规题 以便顺利解决问题 例4如图所示是一几何体的直观图 正 主 视图 侧 左 视图和俯视图 1 若F为PD的中点 求证 AF 平面PCD 2 证明 BD 平面PEC 思维启迪从直观图和三视图上观察该几何体的结构特征 可以知道该几何体的一些棱的平行 垂直关系 在这个几何体中 底面ABCD是边长为4的
15、正方形 PA 平面ABCD PA EB PA 2EB 4 利用这些关系和线面垂直 平行的判定定理解决这两个问题 证明 1 由几何体的三视图可知 底面ABCD是边长为4的正方形 PA 平面ABCD PA EB 又PA 2EB 4 PA AD F为PD的中点 PD AF又 CD DA CD PA CD 平面PAD 又 AF 平面PDA CD AF CD PD D AF 平面PCD 2 取PC的中点M AC与BD的交点为N MN PA MN PA MN EB MN EB 四边形EMNB是平行四边形 EM BN 又 EM 平面PEC BD 平面PEC BD 平面PEC 探究提高 1 由于空间几何体的三
16、视图是由平行投影得到的 故在原几何体中平行的直线在其三视图中平行或重合 2 由三视图反映原来几何体中有关线段的长度时要注意三视图的 高平齐 宽相等 长对正 的规则 变式训练4如图所示 平面ABEF 平面ABCD 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形 BAD FAB 90 BCAD BEFA G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 3 设AB BE 证明 平面ADE 平面CDE FH HD 所以GHAD 又BCAD 故GHBC 所以四边形BCHG是平行四边形 2 解C D F E四点共面 理由如下 由BEAF G是FA的中点知 BEGF 所以EF BG 由 1 知BG CH 所以EF CH 故EC FH共面 又点D在直线FH上 所以C D F E四点共面 3 证明连结EG 由AB BE BEAG及 BAG 90 知四边形ABEG是正方形 故BG EA 由题设知 FA AD AB两两垂直 故AD 平面FABE 因此EA是ED在平面FABE内的射影 根据三垂线定理 BG ED 又ED EA E 所以BG 平面ADE 由 1
